Задача М1102‍‍

Приведём примеры наборов из трёх и четырёх кубов различных натуральных чисел, сумма которых — куб:

1. $3^3+4^3+5^3=6^3$‍,‍
2. $1^3+5^3+7^3+12^3=13^3$‍.‍

Построить наборы из большего числа кубов можно путём «наращивания»: умножив все кубы в равенстве а) на $2^3$‍‍ (или в равенстве б) — на $6^3$‍),‍ мы получим равенство кубов, наименьший из которых $6^3$‍;‍ его можно заменить на $3^3+4^3+5^3$‍.‍ Таким образом, из а) мы получим равенства $$ \begin{gather*} 3^3+4^3+5^3+8^3+10^3=12^3\quad(n=5),\\ 3^3+4^3+5^3+8^3+10^3+16^3+20^3=24^3\quad(n=7) \end{gather*} $$ и т. д. для всех нечётных $n$‍,‍ а из б) — $$ \begin{gather*} 3^3+4^3+5^3+30^3+42^3+72^3=78^3\quad(n=6),\\ 3^3+4^3+5^3+8^3+10^3+60^3+84^3+144^3=156^3\quad(n=8) \end{gather*} $$ и т. д. для всех чётных $n$‍.‍