а) Пусть искомая хорда $MN$ построена (рис. 1). Проведём окружность $AMN$ и обозначим через $C$ и $M_1$ точки её пересечения с прямыми $AB$ и $MO$ ($C\ne A$, $M_1\ne M$). Согласно приведённой на рисунке 2 хорошо известной теореме,
$$
OM_1\cdot OM=OA\cdot OC;
$$
но, очевидно, $OC=OA$, поэтому $OM_1=\dfrac{OA^2}R$, где $R=OM$ — радиус исходной окружности. Таким образом, длина отрезка $OM_1$, а с ней и длина отрезка $MM_1$, полностью определяется положением точки $A$ относительно исходной окружности и не зависит от угла $MAN$. Ввиду этого, чтобы построить отрезок длины $MM_1$ мы можем нарисовать произвольную хорду $MN$, параллельную $AB$ (не заботясь об угле $MAN$), и взять точку пересечения $M_1$ прямой $OM$ с окружностью $AMN$; по доказанному, получившийся отрезок $MM_1$ будет иметь нужную длину. Теперь, пользуясь тем, что для искомой хорды $MN$ известен угол $MN_1N$ (он равен $\alpha$) и расстояния $ON=OM=R$, мы можем построить отрезок, равный этой хорде. Для этого достаточно провести луч под углом $\alpha$ к уже построенному отрезку $MM_1$ из его конца $M_1$ и отметить точки пересечения этого луча с данной окружностью. Таких точек может быть 0, 1 или 2 (рис. 3). Отрезки, соединяющие эти точки с $M$, и дают возможные значения длины искомой хорды. Остаётся построить в данной окружности хорду известной длины, параллельную данной прямой $AB$. Поскольку эта известная длина принимает 0, 1 или 2 значения, наша задача может иметь 0, 2 или 4 решения. (Читатель самостоятельно покажет, что 4 решения задача может иметь, если точка $A$ лежит вне данной окружности; пример такой ситуации приведён на рисунке 4.)
Рисунок номер 1
Рисунок номер 2
Для любой прямой, проходящей через произвольную данную точку $P$ и пересекающей данную окружность, $PX\cdot PY=|d^2-R^2|$, где $X$ и $Y$ — точки пересечения, $d=PO$ — расстояние от $P$ до центра $O$ окружности, $R$ — радиус окружности. (Из подобия треугольников $PXX_1$ и $PY_1Y$ следует, что $PX\cdot PY=PX_1\cdot PY_1=(d+R)|d-R|$.)
Рисунок номер 3
Рисунок номер 4
б) Снова предположим, что искомая хорда $MN$ построена (рис. 5). Проведём окружность $AMN$ и обозначим через $C$ и $M_1$ точки её пересечения с прямыми $AB$ и $MO$ ($C\ne A$, $M_1\ne M$). По-прежнему оказывается, что длина отрезка $MM_1$ не зависит от данного угла. Для доказательства нужно несколько раз применить теорему, приведённую выше (рис. 2):
$$
BC\cdot BA=BM\cdot BN=BE\cdot BF,
$$
где $E$ и $F$ — точки пересечения исходной окружности с $AB$; значит, положение точки $C$ не зависит от данного угла, и снова
$$
OM_1\cdot OM=OA\cdot OC.
$$
Далее решение почти не отличается от решения задачи а), только на сей раз нужно строить не хорду данной длины, параллельную данной прямой, а хорду данной длины, продолжение которой проходит через данную точку. Нужно также отметить, что при некоторых расположениях точек $A$ и $B$ (см., например, рис. 6) угол $MM_1N$ может оказаться равным $\pi-\alpha$, а не $\alpha$. Можно избежать перебора случаев, если воспользоваться понятием «направленного угла»: угол от прямой $AM$ до прямой $AN$, отсчитываемый, скажем, против часовой стрелки, всегда будет равен углу от $M_1M$ до $M_1N$, отсчитываемому в том же направлении. По-прежнему задача имеет 0, 2 или 4 решения.
Рисунок номер 5
Рисунок номер 6
