Задача М1094‍‍

а) Преобразуем разность правой и левой частей (1): $$ \begin{gather*} D=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)=\\ =4a^2b^2-(a^2+b^2)+2c^2(a^2+b^2)-c^4=(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2. \end{gather*} $$ Если $D\ge0$‍,‍ то $2ab\ge|a^2+b^2-c^2|$‍.‍ Поскольку буквы $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ входят в условие совершенно симметричным образом, можно считать $a\ge b\ge c$‍.‍ Тогда $$ a^2+b^2+c^2=|a^2+b^2-c^2|+2c^2\le2ab+2c^2\le2(ab+bc+ca). $$

б) Ответ: не верно. (Пример: $a=4$‍,‍ $b=c=1.$‍)‍

Заметим, что, продолжив преобразования разности $D$‍,‍ можно разложить её на линейные множители: $$ D=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a). $$ Здесь лишь одна скобка (в которой вычитается наибольшее из чисел $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍)‍ может оказаться отрицательной. Таким образом, (1) эквивалентно условию, что каждое из чисел $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ не больше суммы двух других. Аналогично, (2) эквивалентно тому, что каждое из чисел $\sqrt{a\vphantom b}$‍,‍ $\sqrt{b}$‍,‍ $\sqrt{c\vphantom b}$‍‍ не больше суммы двух других. Отсюда легко получить другое решение задачи а): ведь если $b+c\ge a$‍,‍ то $(\sqrt{b}+\sqrt{c\vphantom b})^2 \ge b+c\ge a$‍.‍ Выражение $D$‍‍ встречается в формуле Герона для площади треугольника со сторонами $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ $\Big($‍‍эта площадь равна $\dfrac{\sqrt{D}}4\Big)$‍;‍ такой треугольник существует, если $D\gt0$‍.‍