Задача М1091‍‍

a) Ответ: $a=549$‍.‍ Очевидно, сумма цифр любого удачного числа чётна. Поэтому, если $a$‍‍ и $a+1$‍‍ — удачные числа, то $a$‍‍ оканчивается на 9 (иначе суммы цифр этих двух чисел имеют разную чётность). Ясно, что $a$‍‍ не может быть двузначным ($99+1=100$‍).‍ Если число $a$‍‍ — трёхзначное, т. е. $a=\overline{xy9}$‍‍ (черта означает десятичную запись), то $y \lt 9$‍‍ и $a+1=\overline{x(y+1)0}$‍.‍ Следовательно, $x+y=9$‍,‍ $x=y+1$‍.‍ Отсюда $x=5$‍,‍ $y=4$‍.‍

б) Ответ: не существует. Как видно из решения задачи а), оба числа — $a$‍‍ и $a+1$‍‍ — должны оканчиваться на 9, но это невозможно.