Задача М1087‍‍

а), б) Проведём через каждую вершину треугольника $ABC$‍‍ прямую, параллельную противоположной стороне (и перпендикулярную соответствующей высоте). Эти прямые ограничат треугольник $A_0B_0C_0$‍‍ (см. рисунок), подобный данному с коэффициентом 2. Очевидно, что отрезки $AA_1$‍,‍ $BB_1$‍,‍ $CC_1$‍‍ равны расстояниям от точки $M$‍‍ до сторон $B_0C_0$‍,‍ $C_0A_0$‍,‍ $A_0B_0$‍‍ нового треугольника. Поэтому равенство $AA_1=BB_1=CC_1$‍‍ возможно тогда и только тогда, когда точка $M$‍‍ равноудалена от сторон треугольника $A_0B_0C_0$‍,‍ т. е. является центром его вписанной окружности. В этом случае отрезки $AA_1$‍,‍ $BB_1$‍,‍ и $CC_1$‍‍ равны по длине радиусу этой окружности или диаметру $d$‍‍ вписанной окружности треугольника $ABC$‍‍ (вспомним о подобии наших треугольников!).

Найденная выше точка $M$‍‍ лежит внутри треугольника $ABC$‍,‍ так как все его высоты больше $d$‍.‍ Некоторые читатели под «проекцией на высоту» понимали проекцию на прямую, содержащую высоту. При таком понимании имеется ещё ровно три точки, удовлетворяющие условию, — центры вневписанных окружностей треугольника $A_0B_0C_0$‍.‍