Площадь треугольника $ABC$ равна $\dfrac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin\alpha$, где $\alpha=\angle BAC$, а площадь четырёхугольника $AKNM$ равна $\dfrac12\cdot AN\cdot KM$ (поскольку, очевидно, его диагонали $AN$ и $KM$ перпендикулярны). Поэтому достаточно доказать, что $$AB\cdot AC\cdot\sin\alpha=AN\cdot KM.$$
Треугольники $ACL$ и $ANB$ подобны ($\angle CAL=\angle NAB$, так как $AL$ — биссектриса, а $\angle ACL=\angle ANB$, так как эти углы опираются на одну и ту же дугу $AB$ окружности $ABC$). Следовательно, $\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AL}{AC}$, т. е. $AB\cdot AC=AL\cdot AN$. Остаётся заметить, что $KM=AL\cdot\sin\alpha$ ($KM$ — это хорда окружности с диаметром $AL$, на которую опирается вписанный в эту окружность угол $KAM$ величины $\alpha$).
Рисунок
