Задача М1067‍‍

Докажем, что $$ \dfrac t{1-t^2}\ge \dfrac{3\sqrt3}2t^2\tag{*} $$ при всех $t$‍,‍ $0\le t\lt1$‍.‍ На этом интервале неравенство (*) равносильно неравенству $$ f(t)=\dfrac{3\sqrt3}2t(1-t^2)\le1, $$ которое доказывается с помощью стандартного исследования функции $f(t)$‍.‍ (Производная $f'(t)=\dfrac{3\sqrt3}2(1-3t^2)$‍‍ имеет на $[0;1]$‍‍ единственный корень $t=\dfrac1{\sqrt3}$‍,‍ причём $f(0)=f(1)=0\lt f\left(\dfrac1{\sqrt3}\right)=1$‍.‍ Следовательно $\dfrac1{\sqrt3}$‍‍ — точка максимума $f(t)$‍‍ на $[0;1]$‍.)‍

В силу (*) левая часть доказываемого неравенства не меньше, чем $$ \dfrac{3\sqrt3}2(x^2+y^2+z^2)=\dfrac{3\sqrt3}2; $$ равенство достигается лишь при $x=y=z=\dfrac1{\sqrt3}$‍.‍