Задача М1065‍‍‍

Будем рассматривать векторы $(x;y)$‍‍ с целыми неотрицательными координатами, причём хотя бы одна из координат отлична от 0. Назовём такой вектор образующим, если $|x-y|=1$‍.‍

1. Докажите, что рассматриваемый вектор $(x;y)$‍‍ можно представить в виде суммы образующих (или он сам — образующий) тогда и только тогда, когда величина $$ k(x,y)=x+y-(x-y)^2 $$ неотрицательна.
2. Докажите, что число $n(x,y)$‍‍ различных (с точностью до порядка) представлений вектора $(x;y)$‍‍ в виде суммы образующих зависит только от числа $k = k(x,y)$‍.‍ Найдите $n(13,18)$‍.‍

По поводу задачи М1065.

Редакция получила несколько писем, из которых видно, что не все читатели верно поняли условие задачи М1065. В ней подразумевается, что все образующие в представлениях векторов различны.