а) Для любых четырёх точек $A$, $B$, $C$, $D$ справедливо тождество
$$
\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{AB}=0.\tag1
$$
Это становится очевидным, если представить левую часть (1) в виде $\overrightarrow a\cdot(\overrightarrow c-\overrightarrow b)+\overrightarrow b\cdot(\overrightarrow a-\overrightarrow c)+\overrightarrow c\cdot(\overrightarrow b-\overrightarrow a)$, где $\overrightarrow a=\overrightarrow{DA}$, $\overrightarrow b=\overrightarrow{DB}$, $\overrightarrow c=\overrightarrow{DC}$. Из (1) сразу следует утверждение задачи.
б) Пусть угол между противоположными рёбрами тетраэдра равен $\alpha$, тогда углы между векторами $\overrightarrow{DA}$ и $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{DB}$ и $\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{DC}$ и $\overrightarrow{AB}$ равны $\alpha$ или $180^\circ-\alpha$. Поэтому (1) можно переписать так:
$$
\cos\alpha\,(\pm DA\cdot BC\pm DB\cdot CA\pm DC\cdot AB)=0.
$$
Покажем, что выражение в скобках не может равняться нулю, т. е. $\cos\alpha=0$ и $\alpha=90^\circ$. Для этого достаточно доказать, что произведение длин любых двух противоположных рёбер тетраэдра строго меньше суммы произведений длин двух других пар противоположных рёбер, например
$$
DA\cdot BC<DB\cdot CA+DC\cdot AB.\tag2
$$
Проведём через точки $A$, $B$ и $C$ произвольную сферу. Пусть она пересекает рёбра $DA$, $DB$ и $DC$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$. Легко видеть, что треугольники $ABD$ и $B_1A_1D$ подобны, и, следовательно, $A_1B_1=\dfrac{AB\cdot DB_1}{DA}$. Аналогично, $B_1C_1=\dfrac{BC\cdot DB_1}{DC}$. Деля почленно первое из этих равенств на второе, получим, что $$
\dfrac{A_1B_1}{B_1C_1}=\dfrac{AB\cdot DC}{DA\cdot BC}.
$$
Таким образом, стороны треугольника $A_1B_1C_1$ пропорциональны произведениям противоположных рёбер тетраэдра, и (2) следует из неравенства треугольника для $A_1B_1C_1$.
Тетраэдры, о которых идёт речь в этой задаче, называются ортоцентрическими, так как их высоты пересекаются в одной точке (что, вообще говоря, не имеет места).
