На плоскости даны прямая $\ell$ и две точки $A$ и $B$ по одну сторону от неё. На прямой $\ell$ выбраны точка $M$, сумма расстояний от которой до точек $A$ и $B$ наименьшая, и точка $N$, для которой расстояния от $A$ и $B$ равны: $AN=BN$. Докажите, что точки $A$, $B$, $M$ и $N$ лежат на одной окружности.
Построим точку $B_1$, симметричную $B$ относительно прямой $l$, тогда $M$ лежит на пересечении прямых $AB_1$ и $l$ (см. рисунок), так как для любой точки $P$ на прямой $l$, отличной от $M$,
$$
AP+PB=AP+PB_1\gt AB_1=AM+MB.
$$
Покажем, что $\angle AMB=\angle ANB$, — из этого равенства вытекает утверждение задачи.
Угол $AMB$ как внешний угол равнобедренного треугольника $MBB_1$ равен $2\angle AB_1B$. С другой стороны, точки $A$, $B$ и $B_1$ лежат на окружности с центром $N$, поэтому и $\angle ANB=2\angle AB_1B$ (центральный угол $ANB$ и вписанный в эту окружность угол $AB_1B$ опираются на одну дугу $AB$).
