Для выпуклого многогранника $M$ обозначим через $S(M)$ сумму площадей его граней, через $P(M)$ — сумму произведений длин всех его рёбер на соответствующие им внешние углы многогранника (внешний угол при данном ребре — это угол между перпендикулярами к граням, примыкающим к ребру, и направленными во внешнюю область многогранника; он равен $180^\circ$ минус величина соответствующего двугранного угла). Докажите, что если многогранник $M_1$ лежит внутри многогранника $M_2$, то
а) Для каждой грани $\Gamma$ меньшего многогранника $M_1$ рассмотрим множество $\Pi_\Gamma$, лежащее вне многогранника $M_1$, проекции точек которого на плоскость этой грани попадают на $\Gamma$ ($\Pi_\Gamma$ — это бесконечная «прямая призма» с основанием $\Gamma$, рис. 1). Поскольку многогранник $M_1$ выпуклый, эти множества не пересекаются. Площадь той части поверхности многогранника $M_2$, которая лежит в $\Pi_\Gamma$, не меньше площади грани $\Gamma$, поскольку площадь многоугольника не меньше площади его ортогональной проекции. Следовательно, $S(M_2)\ge S(M_1)$. Выпуклость большего многогранника здесь несущественна.
Рис. 1Рис. 2
б) Обозначим через $V(M,r)$ объём $r$-окрестности многогранника $M$, т. е. множества точек, находящихся на расстоянии не более $r$ от многогранника $M$. Оно состоит из самого многогранника, прямых призм высоты $r$, построенных на его гранях как на основаниях, частей цилиндров радиуса $r$, осями которых являются рёбра $M$, и кусочков шаров радиуса $r$ с центрами в вершинах $M$ (рис. 2). Часть цилиндра при ребре $AB$ — это «сектор», вырезаемый из него двугранным углом с ребром $AB$. По величине этот угол равен внешнему углу $\alpha$ многогранника при ребре $AB$, поэтому объём такого «цилиндрического сектора» равен $\dfrac12AB\alpha r^2$, а сумма всех объёмов равна $\dfrac12P(M)\,r^2$.
Кусочек шара $\mathrm{K}_A$ при вершине $A$ многогранника — это пересечение шара радиуса $r$ с центром $A$ и многогранного угла, который строится так: для каждой из граней многогранника, сходящихся в этой вершине, проводим из точки $A$ перпендикулярный грани луч так, что многогранник и этот луч лежат по разные стороны от плоскости грани (внешнюю нормаль) — эти лучи и задают нужный многогранный угол. Проведём из произвольной точки $O$ лучи, сонаправленные всем внешним нормалям граней многогранника. Тогда плоские углы, образованные парами лучей, соответствующих смежным граням, разобьют пространство на несколько многогранных углов, причём каждый кусочек $\mathrm{K}_A$ при параллельном переносе на вектор $\overrightarrow{AO}$ точно укладывается в один из этих углов. Поэтому все кусочки после переносов образуют целый шар и их общий объём равен $\dfrac43\pi r^3$. На рисунке 3 показана $r$-окрестность многогранника. При параллельном переносе голубые дольки составляют полный круг — сумма внешних углов выпуклого многогранника равна $2\pi$.
Рис. 3
Таким образом,
$$
V(M,r)=V(M)+S(M)r+\dfrac12P(M)\,r^2+\dfrac43\pi r^3,
$$
где $V(M)$ — объём многогранника $M$, и, следовательно, $V(M_2,r)-V(M_1,r)$ — квадратный трёхчлен относительно $r$ со старшим коэффициентом $\dfrac{P(M_2)-P(M_1)}{2}$. А так как $$
V(M_1,r)\le V(M_2,r)
$$
при всех $r\ge0$, этот коэффициент неотрицателен.
