Поделим все члены геометрической прогрессии на первый и выпишем их по возрастанию. Тогда она примет вид $1$, $q$, $\ldots$, $q^{k-1}$, где $q\gt1$. Все эти числа входят в некоторую $n$-членную арифметическую прогрессию; её будем тоже считать возрастающей (иначе поменяем знак её разности). Члены арифметической прогрессии, меньшие 1 и большие $q^{k-1}$, отбросим; при этом её длина не увеличится; можно считать с самого начала, что её первый член равен 1, а последний, $n$-й, равен $q^{k-1}$; тогда $q^{k-1}=1+(n-1)d$, где $d$ — разность арифметической прогрессии, $d\gt0$, так что $n=1+\dfrac{q^{k-1}-1}{d}$.
Поскольку каждое из чисел $q^m$, $m=1$, $\ldots$, $k-1$, входит в арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью $d$, число $(q^m-1)/d$ является номером $q^m$ как члена арифметической прогрессии, т. е. является натуральным. Отсюда следует, что отношение
$$
\dfrac{(q^2-1)/d}{(q-1)/d}=q+1
$$
рационально, а значит, $q$ и $d$ — рациональные числа. Представим их в виде несократимых дробей: $q=\dfrac uv$, $d=\dfrac ab$; тогда
$$
\dfrac{q-1}{d}=\dfrac{u-v}{a}\cdot\dfrac{b}{v}, \quad\dfrac{q^{k-1}-1}{d}=\dfrac{u^{k-1}-v^{k-1}}{a}\cdot\dfrac{b}{v^{k-1}}
$$
Правые части этих равенств — натуральные числа, причём $u$ и $v$, а также $a$ и $b$ взаимно просты, следовательно, $u-v$ делится на $a$, а $b$ делится на $v^{k-1}$, т. е. $u-v\ge a$, $b\ge v^{k-1}$, причём $u\gt v\ge1$. Теперь утверждение задачи вытекает из такой оценки:
$$
n=1+\frac{u^{k-1}-v^{k-1}}{v^{k-1}}\cdot\dfrac{b}{a}\ge1+\frac{u^{k-1}-v^{k-1}}{u-v}= \\
=1+(u^{k-2}+u^{k-3}\cdot v+\ldots+v^{k-2})\ge1+(2^{k-2}+2^{k-3}+\ldots+1)=2^{k-1}
$$
Заметим, что при $q\lt0$ утверждение задачи неверно: например, числа 1, $-2$, 4 образуют и геометрическую, и арифметическую прогрессии.
