Задача М1026‍‍

Ответ: а) $54^\circ$‍;‍ б) $\left(1-\dfrac{2}{m}\right)\cdot 270^\circ$‍.‍

Решим задачу сразу в общем случае. Концы данных $m$‍‍ дуг образуют $m$‍‍-угольник $A_1 A_2\ldots A_m$‍‍ (см. рисунок). Пусть $B$‍‍ — точка пересечения дуг $A_1 A_2$‍‍ и $A_2 A_3$‍.‍ Если угловая величина каждой дуги равна $3\alpha$‍,‍ то $\angle A_1 A_2 B=\alpha$‍‍ (половина величины дуги $A_1 B$‍),‍ $\angle A_3 A_2 B=\alpha$‍,‍ следовательно, $\angle A_1 A_2 A_3=2\alpha$‍.‍ Точно так же находим, что все углы многоугольника $A_1 A_2 \ldots A_m$‍‍ равны $2\alpha$‍.‍ А поскольку их сумма равна $(m-2)\cdot180^\circ$‍,‍ получаем уравнение $2m\alpha=(m-2)\cdot180^\circ$‍,‍ откуда $\alpha=\left(1-\dfrac{2}{m}\right)\cdot 90^\circ$‍,‍ т. е. величина каждой из дуг — $\left(1-\dfrac{2}{m}\right)\cdot270^\circ$‍.‍

Рисунок