Ответ: а) нельзя, б) можно (см. рис.), в) можно при чётных $n \ge 4$.
$$
\def\c#1{\enspace\mathclap{#1}\enspace}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
\c1&\c{11}&\c3&\c9&\c8&\c7\\\hline
\c{12}&\c2&\c{10}&\c4&\c5&\c6\\\hline
\end{array}$$
Рассмотрим сразу общий случай (задача в)). Сумма всех чисел от 1 до $2n$ должна быть чётной (только тогда их можно разбить на две группы с равными суммами). Поскольку $1+2+\ldots+2n=n(2n+1)$, число $n$ не может быть нечётным; отсюда же следует, что суммы по столбцам должны равняться $2n+1$.
Пусть $n=2k$. Выпишем в первой строке числа от 1 до $2k$, а под ними — числа, дополняющие их до $2n+1=4k+1$:
$$
\colsep{10pt}{\begin{array}{llllll}
1&2&3&\ldots&2k{-}1&2k\\
4k&4k-1&4k-2&\ldots&2k+2&2k+1
\end{array}}
$$
Сумма нижних чисел равна $(1+2+\ldots+2k)+2k\cdot2k$, т. е. на $4k^2$ больше суммы верхних чисел. Следовательно, мы должны переставить в нескольких столбцах верхнее число вниз, а нижнее — вверх так, чтобы в итоге верхняя сумма увеличилась на $2k^2$ (а нижняя на столько же уменьшилась). Заметим, что $m$-е слева число верхней строки на $2k$ меньше $m$-го справа числа нижней строки для всех $m=1$, 2, $\ldots$, $2k$, поэтому, если переставить одновременно числа в двух столбцах, равноотстоящих от краёв таблицы, верхняя сумма возрастёт на $4k$. При чётном $k$ такую перестановку достаточно проделать для $\dfrac k2$ симметричных пар столбцов: верхняя сумма возрастёт на $4k\cdot\dfrac k2=2k^2$. При нечётном $k\ge3$ переставим верхние числа $k+1$ и $2k$ с соответствующими нижними — $3k$ и $2k+1$, а также ещё числа $\dfrac{k-1}2$ симметричных пар столбцов. Мы снова получим нужное увеличение верхней суммы:
$$
3k-(k+1)+(2k+1)-2k+4k\cdot\dfrac{k-1}{2}=2k^2.
$$
Наконец, при $k=1$ нужной расстановки, очевидно, не существует.
