Задача М1010‍‍‍

Последовательность $r_1$‍,‍ $r_2$‍,‍ $r_3$‍,‍ $\ldots$‍‍ определяется условиями $$ r_1=2,\quad r_{n+1}=r_1r_2\ldots r_n+1, $$ так что $r_2=3$‍,‍ $r_3=7$‍,‍ $r_4=43$‍,‍ $\ldots$‍‍

1. Докажите, что при любом $n$‍‍ $$ \dfrac1{r_1}+\dfrac1{r_2}+\ldots+\dfrac1{r_n}\lt1. $$
2. Пусть $n$‍‍ натуральных чисел таковы, что сумма их обратных величин меньше 1. Докажите, что эта сумма не больше $$ \dfrac1{r_1}+\dfrac1{r_2}+\ldots+\dfrac1{r_n}. $$

Известные нам доказательства опираются на такую лемму, которую мы предлагаем доказать читателям.

1. Среди всех наборов $(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$‍‍ из $n$‍‍ вещественных чисел, удовлетворяющих условиям: $$\begin{gather*} \alpha_1\ge \alpha_2\ge\ldots\ge\alpha_n\ge0,\quad \alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_n=1,\\ \alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_k\le\alpha_{k+1}+\alpha_{k+2}+\ldots+\alpha_n\quad (k=1,\ 2,\ \ldots,\ n-1), \end{gather*}$$ выбран тот, для которого значение $\alpha_n$‍‍ наименьшее. Тогда $$ \alpha_k=\dfrac1{r_k}\quad \text{для }k=1,\ 2,\ \ldots,\ n-1,\quad \alpha_n=\dfrac1{r_n-1}. $$