На горизонтальном столе находится грузик, прикреплённый к столу при помощи длинной пружины. Сначала пружина была не растянута. Затем грузик сдвинули на 20 см от положения равновесия и отпустили. Грузик начал колебаться вдоль пружины. За счёт трения амплитуда его колебаний за период уменьшается на 7%. Сколько всего колебаний совершит грузик до остановки? На каком расстоянии от положения равновесия он остановится?
Если на колеблющийся маятник действует постоянная внешняя сила, то она смещает положение равновесия маятника. Например, если сравнить колебания
груза, прикреплённого к пружине и движущегося без трения по горизонтальной
плоскости, с колебаниями этой же системы в вертикальной плоскости, когда на груз вдоль линии его движения действует сила тяжести, то мы увидим, что во втором случае положение равновесия груза будет дальше от закреплённого конца
пружины на расстояние $x=\dfrac{mg}k$, где $k$ — коэффициент жёсткости
пружины, а $m$ — масса груза. При этом период колебаний груза будет в обоих
случаях один и тот же.
Рис. 5
Действие на маятник постоянной внешней силы не меняет периода колебаний
маятника и не вызывает затухания его колебаний, так как половину периода
действие внешней силы уменьшает энергию маятника, а вторую половину периода
ровно на столько же увеличивает энергию маятника. Другое дело, когда, как в нашем случае, действующая на маятник сила постоянна только каждую половину
периода, меняя через полпериода направление на противоположное. В этом
случае колебания маятника затухают, так как при движении груза действующая
на него сила всегда направлена в сторону, противоположную направлению его движения. Причём каждые полпериода колебания груза происходят около разных
положений равновесия. При движении груза вправо положение равновесия — это точка $A$ (рис. 5), так как сила трения, действующая на груз,
направлена влево (сравните с колебаниями груза, подвешенного на пружине), а при движении влево — точка $B$.
Ясно, что точки $A$ и $B$ находятся на одинаковом расстоянии от точки $O$ — положения груза при недеформированной пружине. Это расстояние находится из условия равенства действующих на груз силы натяжения пружины $F=k\,\Delta x$
($\Delta x$ — деформация пружины) и силы трения: $k\,\Delta
x=F_{\text{тр}}$. Отсюда
$$
a=AO=OB=\Delta x=\dfrac{F_{\text{тр}}}k.
$$
Колебания груза не могут быть ограничены областью между точками $A$ и $B$, так как в этой области сила натяжения пружины не превышает максимальной
возможной силы трения. Поэтому, если скорость груза в какой-нибудь точке в этой области окажется равной нулю, то груз остановится: сила натяжения
пружины будет уравновешена силой трения.
Обозначим амплитуду $n$-го колебания груза (отклонение груза от точки
$O$) буквой $y_n$, если груз отклонён вправо от точки $O$, и $x_n$, если
груз отклонён влево от точки $O$. $y_0=20~\text{см}$ — начальное отклонение
груза. По условию
$$
\dfrac{y_0-y_1}{y_0}=0{,}07.\tag7
$$
Найдём закон изменения амплитуды колебаний груза. Изменение энергии
системы при движении груза равно работе силы трения, поэтому, используя
формулу для энергии деформированной пружины $W=\dfrac{k(\Delta x)^2}2$,
можно записать, что $$
\dfrac{ky_n^2}2-\dfrac{kx_n^2}2=F_{\text{тр}}(y_n+x_n)\tag8
$$
и $$
\dfrac{kx_n^2}2-\dfrac{ky_{n+1}^2}2=F_{\text{тр}}(x_n+y_{n+1}).
$$
Разделив обе части первого уравнения на $y_n+x_n$, найдём, что $у_n-x_n=2\dfrac{F_{\text{тр}}}k$. Аналогично из второго уравнения получим,
что $x_n-y_{n+1}=2\dfrac{F_{\text{тр}}}k$. Сложив получившиеся уравнения,
найдём, что $$
y_n-y_{n+1}=4\dfrac{F_{\text{тр}}}k.\tag9
$$
Но $\dfrac{F_{\text{тр}}}k=a$, поэтому
$$
y_0-y_1=y_1-y_2=\ldots=y_n-y_{n+1}=4a.\tag{10}
$$
Амплитуда колебаний груза за период уменьшается на одну и ту же величину, равную $4a$. Подставив в формулу (7) вместо разности $y_0-y_1$
равную ей разность $y_n-y_{n+1}$, получим, что $\dfrac{y_n-y_{n+1}}{y_0}=0{,}07$, или что за период амплитуда колебаний
груза уменьшается на $0{,}07y_0=1{,}4~\text{см}$. Через $n$ колебаний она станет равной $y_n=y_0-n\cdot0{,}07y_0$. При этом амплитуда колебаний груза,
как мы уже говорили, не может быть меньше, чем $a$. Так как, согласно
формулам (7) и (10), $4a=y_0-y_1=0{,}07y_0=1{,}4~\text{см}$, то $a=0{,}35~\text{см}$.
Из условия $y_n\ge a$ или $20(1-0{,}07n)\ge0{,}35$ получим, что $n\le14{,}04$. $n$ — целое число. Поэтому груз совершит 14 полных
колебаний.
Так как $y_{14}=20(1-0{,}07\cdot14)=0{,}4~\text{см}$, т. е. $y_{14}\gt
a$, и груз находится вне области между точками $A$ и $B$. Поэтому
действующая на груз сила натяжения больше силы трения, и груз совершит ещё часть колебания, остановившись на расстоянии $y$ от точки $O$. Причём груз
не может дойти до точки $O$. При движении влево положение его равновесия —
точка $B$, и груз не может отклониться до точки $B$ на расстояние большее,
чем $y_{14}-a\simeq0{,}5~\text{см}$.
Путь, пройденный грузом до остановки, равен $y_{14}-y$. Энергия системы в точке, в которой остановится груз, равна $\dfrac{ky^2}2$. Приравняв разность
энергий системы работе силы трения, получим уравнение
$\dfrac{ky_{14}^2}2-\dfrac{ky^2}2=F_{\text{тр}}(y_{14}-y)$.
Разделив это уравнение на не равную нулю разность $y_{14}-y$, получим, что $ky_{14}-ky=2F_{\text{тр}}$. Отсюда
$$
y=2\dfrac{F_{\text{тр}}}k-y_{14}=2a-y_{14}=0{,}3~\text{см}.
$$
