Если давление жидкости на большой поршень (с площадью $S_1$) равно $p$, а атмосферное давление $p_0$, то на поршень действует вверх сила давления $F_1=S_1p$, а вниз — сила $T$ натяжения нити и сила атмосферного давления $F'_1=p_0\cdot S_1$. Так как поршень находится в равновесии, то $$
S_1p=S_1p_0+T.
$$
Аналогичное уравнение можно составить и для нижнего поршня: вверх на него действуют сила натяжения нити $T$ и сила атмосферного давления $F'_2=p_0S_2$, а вниз — сила давления воды $F_1=p'S_2$. Причём давление $p'$ воды на нижний поршень на величину $\rho gl$ больше, чем на верхний. Так как поршень находится в равновесии, то $$
T+p_0S_2=(p+\rho gl)S_2.
$$
Решая оба уравнения совместно, найдём
$$
T=\rho gl\dfrac{S_1S_2}{S_1-S_2}.
$$
Обычно мы проверяем ответ, исследуя его при предельных значениях параметров. Будем считать, что $S_2\rightarrow S_1$. В этом случае $T\rightarrow \infty$. Это и понятно. Вся система сохраняет равновесие благодаря давлению воды на кольцо с площадью $S_1-S_2$ на верхнем поршне. Если $S_1\rightarrow S_2$, то давление на это кольцо должно стремиться к бесконечности. При этом к бесконечности должна стремиться и сила натяжения нити.
При $S_1=S_2$ мы получим, что $T$ бесконечно. Однако это уже неверно. Подобный предельный переход невозможен. Решая задачу, мы исходили из того, что система находится в равновесии. Однако при $S_1=S_2$ равновесие невозможно и система поршней будет падать равноускоренно с ускорением свободного падения $g$. Натяжение нити в этом случае должно быть равно нулю. Этот пример показывает, как осторожно нужно относиться к предельным переходам в физике. Нужно следить за тем, чтобы при этом явление не стало совсем иным.
Такое решение прислали Н. Федин из Омска, десятиклассник М. Фёдоров из Москвы, А. Рагозин из Ижевска.
Интересное решение предложил А. Жуков из Кировска Донецкой области. Он воспользовался методом виртуальных перемещений. Хотя подробный рассказ об этом методе требует особой большой статьи, решение будет понятно и так.
Пусть нить уменьшилась на $\Delta l$, причём верхний поршень переместился на $\Delta l_1$, а нижний — на $\Delta l_2$. Так как при этом объём воды между поршнями не изменился, то оба поршня должны сместиться в одну и ту же сторону (опуститься), причём так, что $$\begin{gather*}
\Delta l_1S_1=\Delta l_2S_2\quad\text{и}\quad\Delta l_2-\Delta l_1=\Delta l\\
(\Delta l_2\gt\Delta l_1).
\end{gather*}$$
Решая эти уравнения совместно, найдём
$$
\Delta l_1=\Delta l\dfrac{S_2}{S_1-S_2}\quad\text{и}\quad\Delta l_2=\Delta l\dfrac{S_1}{S_1-S_2}.
$$
Изменение потенциальной энергии системы при перемещении объёма воды $\rho S_1\Delta l_1$ (или $\rho S_2\Delta l_2$) на $l$ должно быть равно работе силы натяжения нити. Поэтому мы можем записать, что $$
T\Delta l=\rho gl(\Delta l_1S_1)=\rho gl(\Delta l_2S_2).
$$
Отсюда
$$
T=\rho gl\dfrac{S_2S_1}{S_1-S_2}.
$$
Рисунок номер 5
