Найти скорость испарения с единицы поверхности воды в вакуум при температуре $20^\circ\text{ C}$. (Давление насыщенных паров при этой температуре равно $17{,}5\text{ мм рт. ст.}$) За какое время испарится в комнате вода, налитая доверху в обычное чайное блюдце? Испарение небольшого количества воды практически не меняет в комнате влажность воздуха, равную 70%.
Для того чтобы решить задачу, нужно найти количество молекул жидкости,
покидающих $1~\text{см}^2$ её поверхности за 1 с. Умножив его на массу
молекулы воды, мы сможем узнать скорость испарения, т. е. массу воды,
испаряющуюся с единицы поверхности воды за 1 с.
Будем рассуждать так. Если бы над жидкостью был насыщенный пар, то число
молекул жидкости, покидающих её в 1 с, было бы таким же, как и в отсутствие пара. При этом, однако, в жидкость попадало бы ровно столько же молекул, сколько вылетало из неё. Это позволяет нам подсчитать, сколько
молекул вылетает из воды в 1 с, так как найти число молекул, попадающих
в жидкость, довольно просто.
Рис. 4
Воспользуемся следующей моделью идеального газа: все молекулы газа имеют
одинаковые скорости $v$, и каждая из молекул может двигаться только в одном
из трёх взаимно перпендикулярных направлений вдоль осей координат
(рис. 4). Причём число молекул, движущихся в каждом из этих трёх
направлений, одинаково. Если одна из осей координат перпендикулярна
жидкости, то за время $\tau$ в жидкость попадут те молекулы пара, которые
находятся от неё на расстоянии $l=v\cdot\tau$. Пусть в единице объёма
находится $n$ молекул пара, тогда на участок поверхности с площадью $S$
попадает $N=\dfrac16nv\tau S$ молекул пара: вдоль оси координат,
перпендикулярной поверхности жидкости, движется $\dfrac13$ часть молекул
пара, находящихся в объёме $v\tau S$, причём скорость половины из них направлена от жидкости. Если масса молекулы пара $m$, то за время $\tau$ в жидкость попадает масса пара $M=\dfrac16nv\tau Sm$. $n\cdot m$ — это плотность пара $\rho$. Поэтому
$$
M=\dfrac16v\tau S\rho.\tag{*}
$$
Скорость молекул пара можно выразить через его давление и плотность.
Рассмотрим кубический сосуд с ребром $l$ и гранями, перпендикулярными осям
координат (рис. 4). При упругом столкновении молекулы пара со стенкой
её количество движения меняется на $2mv$ — до столкновения импульс молекулы
равен $mv$, а после столкновения $-mv$: молекула движется от стенки. Так как между двумя последовательными столкновениями молекулы с одной и той же стенкой проходит время $t=\dfrac{2l}v$, то в соответствии со вторым законом
Ньютона можно считать, что на молекулу со стороны стенки действует средняя
сила $f=\dfrac{2mv}{\dfrac{2l}v}=\dfrac{mv^2}l$. По третьему закону Ньютона
сила такой же величины действует на стенку. Так как вдоль каждой из осей
движется $N=\dfrac13nl^3$ молекул, каждая из которых вносит вклад в давление
на стенку, то полная сила, действующая на стенку, равна
$$
F=\dfrac{mv^2}l\cdot\dfrac13nl^3=\dfrac13mnl^2v^2,
$$
a давление пара на стенку разно
$$
P=\dfrac F{l^2}=\dfrac13nmv^2=\dfrac13\rho v^2.
$$
Поэтому
$$
v=\sqrt{\dfrac{3P}\rho}.
$$
Подставляя это выражение для $v$ в формулу (*), получим
$$
M=\dfrac16\tau S\rho\sqrt{\dfrac{3P}\rho}.
$$
Выразим ещё плотность пара через его давление. Они связаны уравнением
Клапейрона:
$$
P=\dfrac\rho\mu RT,
$$
где $\mu$ — масса одной грамм-молекулы пара, $T$ — его температура, а $R=8{,}3~\dfrac{\text{Дж}}{\text{К}\cdot\text{моль}}$ — газовая
постоянная.
Из этой формулы найдём, что $\rho=\dfrac{P\mu}{RT}$. Поэтому
$M=\dfrac16\tau S\dfrac{P\mu}{RT}\sqrt{\dfrac{3RT}\mu}$. Таким образом, если
над жидкостью находится насыщенный пар, то на единицу её поверхности за 1 с попадает масса пара, равная
$$
\dfrac M{\tau S}=\dfrac16P\sqrt{\dfrac{3\mu}{RT}}.
$$
Это означает, что скорость испарения жидкости в вакуум равна
$\dfrac16P\sqrt{\dfrac{3\mu}{RT}}$.
Подставив сюда численные значения $T=293~\text{К}$,
$\mu=18~\dfrac{\text{кг}}{\text{кмоль}}$ и $P=2{,}3\cdot10^3~\dfrac{\text{Н}}{\text{м}^2}$ ($P$ — давление насыщенного
пара при $T=293~\text{К}$), получим, что скорость испарения равна
$14{,}8\cdot10^{-8}~\dfrac{\text{кг}}{\text{м}^2\cdot\text{с}}$.
Мы могли бы решить задачу и более точно, учитывая, что молекулы движутся
с разными скоростями и во всевозможных направлениях. Это, однако, не изменило бы качественный результат, который мы получили. Изменился бы лишь численный
множитель в последней формуле.
Теперь нетрудно найти и время, за которое испарится в комнате вода,
налитая в чайное блюдце. В этом случае с единицы поверхности жидкости за 1 с вылетают молекулы с общей массой, равной
$\dfrac16P_0\sqrt{\dfrac{3\mu}{RT}}$
$\left(P_0=10^{-5}~\dfrac{\text{Н}}{\text{м}^2}\right)$, a в жидкость
попадает масса пара, равная $\dfrac16P\sqrt{\dfrac{3\mu}{RT}}$‚ где $P=\eta
P_0=0{,}7P_0$. Таким образом, скорость испарения жидкости равна
$\dfrac16(P_0-P)\sqrt{\dfrac{3\mu}{RT}}$.
Если площадь поверхности воды $S$, а её масса $M$, то вся вода испарится
за время
$$
t=\dfrac M{\dfrac16(P_0-P)\sqrt{\dfrac{3\mu}{RT}}}.
$$
Принимая, что в блюдце входит 100 г воды, его диаметр равен 10 см,
температура воздуха в комнате равна $17^\circ~\text{C}=290~\text{К}$ (при
этой температуре $P_0=2{,}3\cdot10^3~\dfrac{\text{Н}}{\text{м}^2}$ и $P=1{,}6\cdot10^3~\dfrac{\text{Н}}{\text{м}^2}$), найдём $t=1~\text{с}$.
Получился парадоксальный результат. В чём же мы ошиблись? В величине
давления пара вблизи поверхности воды. Здесь давление пара значительно
больше, чем в комнате. В тонком слое у поверхности пар почти насыщен. Только
благодаря этому вода испаряется достаточно медленно.
Пример, который мы рассмотрели, показывает, как важно при решении
физической задачи разобраться в «физике» явления, т. е. понять, чем можно и чем нельзя пренебречь.
