С вершины башни высотой $h$ с одинаковыми скоростями, равными $v$ и направленными перпендикулярно одна к другой, под разными углами к горизонту
одновременно брошены два камня так, что их движение происходит в одной
вертикальной плоскости. Через некоторое время после броска, как раз непосредственно перед падением одного камия на землю, оказалось, что векторы
скоростей камней направлены под одинаковыми углами к горизонту. Определите
величину этого угла $\varphi$ и расстояние между камнями $l$ в этот момент
времени. Известно, что в начальный момент времени оба камня удаляются от поверхности земли, а непосредственно перед падением одного камня на землю
другой камень тоже приближается к поверхности земли. Башня расположена на горизонтальной поверхности. Ускорение свободного падения равно $g$.
Сопротивление воздуха не учитывайте.
А. Аполонский
Всероссийская олимпиада школьников по физике (LVIII, заключительный этап)
Построим векторные треугольники скоростей для каждого из камней с общим
началом в точке $O$ (см. рисунок). Вершины треугольников для удобства
обозначим буквами. На рисунке $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OM}$ —
векторы начальных скоростей, а $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{ON}$ — векторы скоростей перед падением на землю одного из камней. По теореме
синусов из треугольников $AOB$ и $MON$ находим
$$
\dfrac v{\sin\alpha}=\dfrac{gt}{\sin\angle AOB}=\dfrac{gt}{\sin\angle MON}.
$$
Поскольку камни брошены под разными углами, то из равенства $\sin\angle
AOB=\sin\angle MON$ следует $\angle AOB+\angle MON=180^\circ$. Тогда $\angle
BON=90^\circ$, а камни движутся к вертикали под одинаковыми углами
$$
\alpha=\dfrac{\angle BON}2=45^\circ
$$
Искомый угол с горизонтом составляет
$$
\varphi=90^\circ-\alpha=45^\circ.
$$
Из закона сохранения энергии
$$
|\overrightarrow{ON}|=v_1=\sqrt{v^2+2gh}.
$$
Для нахождения расстояния между камнями в этот момент определим время
движения. По теореме косинусов для треугольника $MON$,
$$
v^2+2gh+(gt)^2-2\sqrt{v^2+2gh}\,gt\cos45^\circ=v^2.
$$
Решая это квадратное уравнение, находим два корня:
$$
t=\dfrac{\sqrt{v^2+2gh}\pm\sqrt{v^2-2gh}}{\sqrt2\,g}.
$$
Учитывая условие, что первоначально оба камня удаляются от земли, необходимо
выбрать знак $+$. Умножая полученное время на относительную скорость камней
$v_{\text{отн}}=\sqrt2\,v$, получаем выражение для расстояния между камнями
в указанный момент времени:
$$
l=v_{\text{отн}}t=\dfrac vg\left(\sqrt{v^2+2gh}+\sqrt{v^2-2gh}\right).
$$
