В бесконечной электрической цепи, фрагмент схемы которой представлен на рисунке 1, каждая треугольная ячейка содержит три источника с одинаковыми внутренними сопротивлениями $r$, но разными ЭДС $\mathscr{E}$,
$2\mathscr{E}$ и $3\mathscr{E}$, причём полярность подключения источников с одной и той же ЭДС периодически меняется.
Рис. 1
Чему равны разности потенциалов $\varphi_+$ и $\varphi_-$ между плюсом и минусом каждого источника в данной цепи?
Определите силы токов через все источники в данной цепи.
Какое сопротивление $R_1$ покажет омметр при подключении к плюсу и минусу источника с ЭДС $\mathscr{E}$, находящегося в данной цепи? Какие
сопротивления $R_2$ и $R_3$ покажет прибор, если сделать то же самое с источниками с ЭДС $2\mathscr{E}$ и $3\mathscr{E}$ соответственно? Будут ли зависеть показания омметра от полярности его подключения?
Один из источников с ЭДС $2\mathscr{E}$ заменили другим источником с ЭДС $\mathscr{E}$ и внутренним сопротивлением $\dfrac r2$. Какова в этом случае
будет сила тока $I$, текущего через заменённый источник?
Величины $\mathscr{E}$ и $r$ считайте известными. Сопротивлением
соединительных проводов можно пренебречь.
А. Киреев, Л. Колдунов
Всероссийская олимпиада школьников по физике (LVIII, заключительный этап)
Используя симметрию электрической цепи, докажем, что потенциалы на соседних выводах источников каждого типа одинаковы. Воспользуемся методом
наложения. Рассмотрим сначала систему из источников только с ЭДС $\mathscr{E}$ при «выключенных» ЭДС всех остальных источников и введём
обозначения узлов $A_1$, $B_1$, $A_2$, $B_2$, $A_3$, $B_3$ и т. д., как показано на рисунке 2. Сдвиг на одно звено схемы вдоль направления
$A_3$—$A_1$ переводит схему саму в себя, поэтому
$$
\varphi_{A_3}-\varphi_{B_3}=\varphi_{A_2}-\varphi_{B_2}=
\varphi_{A_1}-\varphi_{B_1}=\Delta\varphi,
$$
а также
$$
\varphi_{A_4}-\varphi_{B_3}=\varphi_{A_3}-\varphi_{B_2}=
\varphi_{A_2}-\varphi_{B_1}=\Delta\varphi'.
$$
Рис. 2Рис. 3
Перевернём цепь таким образом, что узлы $A_3$ и $B_2$, а также узлы $A_2$
и $B_3$ меняются местами (рис. 3). Так как цепь перешла сама в себя, то $$
\begin{gather*}
\varphi_{B_2}-\varphi_{A_2}=\varphi_{B_3}-\varphi_{A_3}=
\varphi_{B_4}-\varphi_{A_4}=\Delta\varphi,\\
\varphi_{B_1}-\varphi_{A_2}=\varphi_{B_2}-\varphi_{A_3}=
\varphi_{B_3}-\varphi_{A_4}=\Delta\varphi'.
\end{gather*}
$$
Откуда следует, что $$
\Delta\varphi=-\Delta\varphi~~\text{и}~~\Delta\varphi'=-\Delta\varphi',
\quad\text{или}\quad \Delta\varphi=0~~\text{и}~~\Delta\varphi'=0.
$$
С учётом этого получаем, что потенциалы, созданные системой источников с ЭДС $\mathscr{E}$ во всех узлах такой схемы одинаковы.
Аналогично можно рассмотреть отдельно систему из источников только с ЭДС $2\mathscr{E}$ и систему из источников только с ЭДС $3\mathscr{E}$ при выключенных ЭДС всех остальных источников. Таким образом, разность
потенциалов между любыми двумя узлами схемы в каждой рассмотренной системе
равна нулю, а согласно методу наложения и результирующая разность
потенциалов между любыми двумя узлами схемы также равна нулю. Значит,
разности потенциалов между плюсом и минусом каждого типа источников равны и $$
\varphi_+-\varphi_-=0.
$$
Запишем закон Ома для произвольной пары соседних узлов, участок цепи
между которыми содержит ЭДС $\mathscr{E}$:
$$
(\varphi_+-\varphi_-)+\mathscr{E}=I_1r.
$$
Здесь положительному значению $I_1$ соответствует ток, текущий в направлении
действия $\mathscr{E}$. Поскольку $\varphi_+-\varphi_-=0$, сила тока $I_1$
одинакова для любого такого участка. Аналогично, для участков цепи,
содержащих ЭДС $2\mathscr{E}$ и $3\mathscr{E}$,
$$
\begin{gather*}
(\varphi_+-\varphi_-)+2\mathscr{E}=I_2r,\\
(\varphi_+-\varphi_-)+3\mathscr{E}=I_3r.
\end{gather*}
$$
Следовательно,
$$
I_1=\dfrac{\mathscr{E}}r,\quad I_2=\dfrac{2\mathscr{E}}r,\quad
I_3=\dfrac{3\mathscr{E}}r.
$$
Рис. 4
Рассмотрим бесконечную электрическую цепь с двумя соседними (ближайшими)
выводами на источнике любого типа как эквивалентный источник с ЭДС $\mathscr{E}_{\text{экв}}$ и внутренним сопротивлением $r_{\text{экв}}$
(рис. 4). ЭДС эквивалентного источника $\mathscr{E}_{\text{экв}}=0$,
так как разность потенциалов между любыми двумя соседними выводами равна
нулю. Внутреннее сопротивление эквивалентного источника $r_{\text{экв}}$
определим как сопротивление между двумя соседними (ближайшими) узлами
бесконечной сетки с выключенными ЭДС. Для этого снова воспользуемся методом
наложения. Рассмотрим сначала бесконечную сетку с внутренними
сопротивлениями источников, где в один из узлов втекает ток силой $I_0$ и растекается до бесконечности. В ближайших к данному узлу ветках силы токов
будут одинаковы (в силу симметрии) и равны $I_+=\dfrac{I_0}6$. Затем
рассмотрим ту же бесконечную сетку, где из соседнего узла вытекает ток силой
$I_0$. Аналогично, в данной схеме токи в ближайших к данному узлу ветках
будут одинаковы и равны $I_-=\dfrac{I_0}6$. Далее рассмотрим суперпозицию
этих двух случаев. Тогда напряжение на сопротивлении $r$ равно $(I_++I_-)r$,
следовательно,
$$
r_{\text{экв}}=\dfrac{(I_++I_-)r}{I_0}=\dfrac r3.
$$
Таким образом, при использовании любых двух соседних (ближайших) узлов
электрическая схема ведёт себя как резистор с сопротивлением
$r_{\text{экв}}=\dfrac r3$. Поэтому показания омметра не будут зависеть от полярности его подключения. С учётом этого получаем ответ для показаний
омметра:
$$
R_1=\dfrac r3,\quad R_2=\dfrac r3,\quad R_3=\dfrac r3.
$$
Эти результаты не зависят от полярности подключения омметра.
Рис. 5
Эквивалентный источник из предыдущего пункта можно представить как параллельное соединение источника с ЭДС $2\mathscr{E}$ и сопротивлением $r$
(который заменяется другим источником по условию) и источника с ЭДС $\mathscr{E}^*$ и сопротивлением $r^*$, который эквивалентен оставшейся
части электрической схемы (рис. 5). С учётом того, что для эквивалентного источника $\mathscr{E}_{\text{экв}}=0$ и $r_{\text{экв}}=\dfrac r3$, найдём $\mathscr{E}^*$ и $r^*$. Сопротивления
связаны соотношением
$$
\dfrac1{r_{\text{экв}}}=\dfrac1r+\dfrac1{r^*},
$$
откуда $r^*=\dfrac r2$. Приравнивая токи короткого замыкания рассмотренного
параллельного соединения источников и эквивалентного источника, приходим к соотношению
$$
\dfrac{\mathscr{E}^*}{r^*}-\dfrac{2\mathscr{E}}r=
\dfrac{\mathscr{E}_{\text{экв}}}{r_{\text{экв}}},
$$
откуда находим $\mathscr{E}^*=\mathscr{E}$.
Рис. 6
Источник с ЭДС $2\mathscr{E}$ и сопротивлением $r$ можно заменить источником
с ЭДС $\mathscr{E}$ и сопротивлением $\dfrac r2$ двумя разными способами
(используя разную полярность подключения, как представлено на рисунке 6). При подключении первым способом
$$
I=\dfrac{\mathscr{E}-\mathscr{E}}{\dfrac r2+\dfrac r2}=0.
$$
При подключении вторым способом
$$
I=\dfrac{\mathscr{E}+\mathscr{E}}{\dfrac r2+\dfrac r2}=\dfrac{2\mathscr{E}}r.
$$
В итоге в зависимости от способа подключения получаем
$$
I=0\quad\text{или}\quad I=\dfrac{2\mathscr{E}}r.
$$
