Задача Ф2847‍‍

1) Так как поршень вначале находится в равновесии, то $$ p_0S=mg,\quad\hbox{или}\quad p_0V_0=mgh_0, $$ где $p_0$‍‍ и $V_0$‍‍ — начальное давление и начальный объём газа соответственно, $S$‍‍ — площадь внутреннего поперечного сечения сосуда. При движении системы механическая энергия поршня с грузом передаётся только газу (поршень перемещается в сосуде практически без трения, снаружи вакуум), а газ не передаёт тепло в окружающую среду. В этом случае первое начало термодинамики имеет вид $$ A_{\text{внеш}}=\Delta U, $$ где $\Delta U$‍‍ — изменение внутренней энергии газа, $A_{\text{внеш}}$‍‍ — работа внешних сил над газом, равная убыли полной механической энергии поршня с грузом: $A_{\text{внеш}}=-\Delta E$‍.‍ В результате получаем $$ \Delta U+\Delta E=0. $$ Согласно условию, при движении поршня от исходного положения до его первой остановки процессы в газе равновесные. Поэтому будем считать, что с газом происходит обратимый адиабатический процесс. Для него справедливо уравнение Пуассона $pV^\gamma=\text{const}$‍,‍ где $\gamma=\dfrac53$‍‍ для одноатомного идеального газа, $p$‍‍ и $V$‍‍ — давление и объём газа в некоторый произвольный момент времени. В нашем случае $$ \begin{gather*} pV^{\tfrac53}=p_0V_0^{\tfrac53},\\ p=p_0\left(\dfrac{V_0}V\right)^{\tfrac53}= p_0\left(\dfrac{h_0}h\right)^{\tfrac53},\\ pV=p_0V_0\left(\dfrac{V_0}V\right)^{\tfrac23}= p_0V_0\left(\dfrac{h_0}h\right)^{\tfrac23}, \end{gather*} $$ где $h$‍‍ — расстояние от поршня до дна сосуда в произвольный момент времени.

Рассмотрим момент времени, когда поршень находился в самой нижней точке на расстоянии $h_{\min}$‍‍ от дна сосуда. В этот момент скорость поршня с грузом равна нулю, т. е. $$ \Delta E=(M+m)\,g\,(h_{\min}-h_0). $$ Изменение внутренней энергии газа $$ \Delta U=\dfrac32(p_1V_1-p_0V_0)= \dfrac32p_0V_0\left(\left(\dfrac{h_0}{h_{\min}}\right)^{\tfrac23}-1\right)= \dfrac32mgh_0\left(\left(\dfrac{h_0}{h_{\min}}\right)^{\tfrac23}-1\right), $$ где $p_1$‍‍ и $V_1$‍‍ — давление и объём газа в рассматриваемый момент времени.

После объединения получаем $$ \dfrac32mgh_0\left(\left(\dfrac{h_0}{h_{\min}}\right)^{\tfrac23}-1\right)+ (M+m)\,gh_0\left(\dfrac{h_{\min}}{h_0}-1\right)=0. $$ Подставляем $\dfrac{h_0}{h_{\min}}=2$‍‍ и находим $$ \begin{gathered} \dfrac Mm=3(2^{\tfrac23}-1)-1\approx0{,}762,\\ M\approx0{,}762m\approx76~\text{кг}. \end{gathered} $$

Будем рассматривать поршень с грузом как единое тело. Максимальный модуль ускорения поршня с грузом достигается, когда их скорость равна нулю, при этом суммарная внешняя сила максимальна. Этим условиям удовлетворяют два положения поршня: начальное положение (сила тяжести больше силы давления газа на поршень) и нижнее положение (сила давления газа на поршень больше силы тяжести). В начальный момент модуль ускорения поршня с грузом равен $$ a_0\dfrac{(M+m)g-p_0S}{M+m}=\dfrac{(M+m)g-mg}{M+m}=\dfrac M{M+m}g\approx 0{,}43g. $$ В нижнем положении модуль ускорения поршня с грузом равен $$ a=\dfrac{p_0S\left(\dfrac{h_0}{h_{\min}}\right)^{\tfrac53}-(M+m)g}{M+m}= g\left(\dfrac{m\left(\dfrac{h_0}{h_{\min}}\right)^{\tfrac53}}{M+m}-1\right)= g\left(\dfrac{2^{\tfrac53}m}{M+m}-1\right)\approx0{,}80g. $$ Выбираем максимальное значение: $$ a_{\max}= g\left(\dfrac{m\left(\dfrac{h_0}{h_{\min}}\right)^{\tfrac53}}{M+m}-1\right) \approx0{,}80g=8~\text{м/с}^2. $$

3) Максимальной скорости поршень достигает на первом участке движения (от верхней точки до нижней). При максимальной скорости движения ускорение равно нулю, т. е. сила тяжести $(M+m)g$‍‍ равна силе давления газа $p_2S$‍:‍ $$ (M+m)g=p_2S=p_0S\left(\dfrac{h_0}{h_2}\right)^{\tfrac53}=mg\left(\dfrac {h_0}{h_2}\right)^{\tfrac53}, $$ где $h_2$‍‍ — расстояние от поршня до дна сосуда в указанный момент времени. Из полученного уравнения найдём $$ \dfrac{h_2}{h_0}=\left(\dfrac Mm+1\right)^{-\tfrac35}\approx0{,}712. $$ Закон сохранения энергии (первое начало термодинамики) для газа записывается так: $$ \dfrac32(p_2V_2-p_0V_0)+(M+m)\,g\,(h_2-h_0)+\left(\dfrac{(M+m)v_{\max}^2}2-0 \right)=0, $$ или $$ \dfrac32mgh_0\left(\left(\dfrac{h_0}{h_2}\right)^{\tfrac23}-1\right)+(M+m)\,gh_0 \left(\dfrac{h_2}{h_0}-1\right)+\dfrac{(M+m)v_{\max}^2}2=0, $$ где $p_2$‍‍ и $V_2$‍‍ — давление и объём газа в момент прохождения поршнем положения равновесия. Отсюда $$ \dfrac{v_{\max}^2}{2gh_0}=\left(1-\dfrac{h_2}{h_0}\right)+\dfrac{3m}{2(M+m)} \left(1-\left(\dfrac{h_0}{h_2}\right)^{\tfrac23}\right). $$ Подставляем значение $\dfrac{h_2}{h_0}$‍,‍ получаем $$ \dfrac{v_{\max}^2}{2gh_0}\approx0{,}07,\quad v_{\max}\approx\sqrt{0{,}14gh_0}\approx1{,}2~\text{м/с}. $$

4) На длительном промежутке времени процессы, протекающие в газе, становятся необратимыми, т. е. механическая энергия необратимо переходит во внутреннюю энергию. Уравнение адиабаты $pV^\gamma=\text{const}$‍,‍ выведенное для обратимого процесса, в этом случае не применимо. Запишем условие равновесия поршня с грузом: $$ pS=(M+m)g. $$ Закон сохранения энергии (первое начало термодинамики) в этом случае имеет вид $$ \dfrac32(pSh-p_0V_0)+(M+m)\,g\,(h-h_0)=0. $$ Получаем $$ \begin{gather*} \dfrac32((M+m)gh-mgh_0)+(M+m)\,g\,(h-h_0)=0,\\ h=\dfrac{5m+2M}{5(M+m)}h_0\approx0{,}74h_0=0{,}74~\text{м}. \end{gather*} $$