Ha горизонтальной поверхности находятся два тела: длинная доска высотой
$h$ и однородный цилиндр радиусом $R=2h$, которые касаются друг друга
(рис. 1). Масса цилиндра равна $M$. Коэффициенты трения между цилиндром
и поверхностью, а также между самими телами одинаковы и равны $\mu$. Доска
движется с постоянным горизонтальным ускорением $a$, направленным
перпендикулярно линии контакта с цилиндром. Ускорение свободного падения
равно $g$. При каких значениях ускорения $a$ доски цилиндр не будет
поворачиваться вокруг горизонтальной оси, если коэффициент трения $\mu$
может принимать любые значения больше нуля?
Рис. 1
А. Ившин, Е. Васенин, А. Вергунов
Всероссийская олимпиада школьников по физике (LVIII, заключительный этап)
Перейдём в неинерциальную систему отсчёта, движущуюся влево с ускорением
$\overrightarrow{a}$. В этой системе цилиндр покоится и на него действует
эффективная сила тяжести
$$
M\overrightarrow{g_{\text{эф}}}=M\overrightarrow{g}-M\overrightarrow{a}.
$$
Заметим, что с увеличением ускорения $a$ угол между вертикалью и вектором
$M\overrightarrow{g_{\text{эф}}}$ увеличивается. Расставим силы, действующие
на цилиндр в этой системе отсчёта (рис. 2). Это сила реакции $Q$ со стороны горизонтальной поверхности, направленная под углом $\varphi$ к вертикали, $\tg\varphi=\mu$, так как происходит движение с проскальзыванием,
и сила реакции $Q_1$ со стороны доски, направленная под некоторым углом
$\alpha$ к радиусу, проведённому в точку касания.
Рис. 2
Если $\mu<\sqrt3$, линия действия силы $Q$ проходит левее точки контакта
цилиндра с доской (точки $A$). Для равновесия цилиндра необходимо, чтобы
силы $Q$, $Q_1$ и $Mg_{\text{эф}}$ пересекались в одной точке. Угол
$\varphi$ фиксирован, а угол $\alpha$ увеличивается при уменьшении ускорения
$a$. Максимальное значение угла $\alpha$ равно $\varphi$. Из геометрии
задачи следует, что угол между эффективной силой тяжести и вертикалью равен
$30^\circ$. Следовательно,
$$
a_{\min}=g\tg30^\circ=\dfrac g{\sqrt3}.
$$
С увеличением ускорения $a$ угол $\alpha$ уменьшается, пока
$Mg_{\text{эф}}$ и $Q_1$ не станут направленными вдоль одной прямой.
Дальнейшее увеличение $a$ приведёт к нарушению равновесия, цилиндр начнёт
закатываться на доску, при этом сила реакции $Q$ станет равной нулю.
Следовательно,
$$
\begin{gathered}
a_{\max}=g\tg60^\circ=\sqrt3\,g,\\
\dfrac1{\sqrt3}g\lt a\lt \sqrt3\,g.
\end{gathered}
$$
Рис. 3Рис. 4
Если $\mu\gt\sqrt3$, то линия действия силы $Q$ проходит ниже точки
контакта цилиндра с доской (рис. 3 и 4). По теореме о трёх
непараллельных силах с учётом того, что $0\le\alpha\le\varphi$, получаем два возможных диапазона для угла $\gamma$, при которых три силы пересекаются в одной точке:
$\gamma\in[0;30^\circ]$ и вектор $Q$ направлен в точку пересечения трёх
сил;
$\gamma\in(60^\circ;90^\circ)$ и продолжение вектора $Q$ в обратном
направлении проходит через точку пересечения трёх сил.
При $\gamma\in[0;30^\circ]$ все три вектора сил направлены в одну
полуплоскость, следовательно, их сумма не может быть равна нулю. Значит,
равновесие в этом случае невозможно. Для $\gamma\in(60^\circ;90^\circ)$
получаем
$$
a\gt g\tg60^\circ=\sqrt3\,g.
$$
Если $\mu=\sqrt3$, то $\varphi=60^\circ$, линия действия силы $Q$ проходит
через точку $A$. Тогда либо линии действия сил $Q$ и $Q_1$ совпадают, либо
пересекаются в точке $A$. Первое невозможно, так как в этом случае для выполнения условия равновесия $Mg_{\text{эф}}$ должна быть параллельна $Q$ и $Q_1$, чего быть не может. Значит, линии действия сил $Q$ и $Q_1$
пересекаются в точке $A$ (рис. 5). Тогда по теореме о трёх
непараллельных силах $Mg_{\text{эф}}$ тоже направлена в точку $A$, откуда
однозначно находим значение ускорения:
$$
a=\sqrt3\,g.
$$
