Из пункта $A$, расположенного на одном берегу реки шириной $l$,
переправляется на противоположный берег небольшая моторная лодка
(рис. 1). Берега реки параллельны друг другу. Скорость течения реки
везде одинакова и равна $u$. На противоположном берегу реки на одном
перпендикуляре к берегам с пунктом $A$ расположен пункт $B$. Скорость лодки
относительно воды постоянна по величине и равна $2u$, а её вектор в течение
всего времени переправы перпендикулярен прямой $BC$, где $C$ — центр лодки.
В некоторый момент времени $t_1$ скорость лодки относительно берега
перпендикулярна линии берега.
Рис. 1
В каком направлении лодка начала движение из пункта $A$: по течению или против течения?
Найдите угол $ABC$ в момент времени $t_1$.
На каком расстоянии от пункта $B$ будет находиться лодка, когда она достигнет противоположного берега реки?
На каком расстоянии от пункта $B$ будет находиться лодка в момент
времени $t_1$?
Найдите радиус кривизны траектории лодки в системе отсчёта берега для двух случаев:
в момент старта из пункта $A$;
в момент времени $t_1$.
А. Шишкина
Всероссийская олимпиада школьников по физике (LVIII, заключительный этап)
Рассмотрим случай, когда лодка начинает движение по течению реки. Введём
систему координат с началом в пункте $A$, ось $x$ направим вдоль скорости
течения, а ось $y$ направим к пункту $B$ (рис. 2). Пусть $r$ —
расстояние от точки $B$ до центра лодки, $\angle ABC=\alpha$. Тогда
элементарные приращения за малое время $dt$ равны
$$
\begin{gathered}
dr=u\sin\alpha\cdot dt,\\
dx=2u\cos\alpha\cdot dt+u\,dt,\\
dy=2u\sin\alpha\cdot dt.
\end{gathered}
$$
В любой момент времени до достижения лодкой противоположного берега
$0\le\alpha\le\dfrac\pi2$, поэтому
$$
v_x=\dfrac{dx}{dt}=2u\cos\alpha+u\ge u\gt0.
$$
Но скорость относительно берега He может быть направлена перпендикулярно
линии берега. Отсюда делаем вывод, что лодка не могла начать движение из пункта $A$ по течению.
Рис. 2Рис. 3
Итак, лодка начинает движение против течения реки (рис. 3). Тогда
элементарные приращения за малое время $dt$ будут равны
$$
\begin{gathered}
dr=-u\sin\alpha\cdot dt,\\
dx=-2u\cos\alpha\cdot dt+u\,dt,\\
dy=2u\sin\alpha\cdot dt.
\end{gathered}
$$
При движении перпендикулярно линии берега $dx=0$, поэтому
$$
\begin{gathered}
-2u\cos\alpha+u=0,\quad\cos\alpha=\dfrac12,\\
\alpha=60^\circ=\dfrac\pi3.
\end{gathered}
$$
Умножая уравнение для $dr$ на 2 и складывая с уравнением для $dy$, получим
$$
2\,dr+dy=0,\quad2r+y=\text{const}.
$$
Вычислим эту константу в момент начала движения ($r_A=l$, $y_A=0$), откуда
$r(y)=l-\dfrac y2$. В момент достижения противоположного берега
$$
y_B=l,\quad r_B=\dfrac l2.
$$
В момент времени $t_1$ из геометрических соображений можно записать, что $r\cos\alpha=l-y$. Подставляя зависимость $r(y)$ и значение угла $\alpha$ в этот момент времени, получаем
$$
\dfrac12\left(l-\dfrac{y_1}2\right)=l-y_1,\quad y_1=\dfrac23l,\quad
r_1=\dfrac23l.
$$
Для определения радиуса кривизны тpaектории найдём скорость и ускорение в нужных точках. Скорость относительно берега равна сумме скорости воды
$\overrightarrow{u}$ в реке и скорости лодки
$\overrightarrow{u_{\text{л}}}$, относительно воды:
$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u_{\text{л}}}$. После
возведения в квадрат получаем
$$
v=\sqrt{\overrightarrow{u}^2+\overrightarrow{u_{\text{л}}}^2+
2(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u_{\text{л}}})}=
\sqrt{u^2+4u^2+4u^2\cos\angle(\overrightarrow{u},
\overrightarrow{u_{\text{л}}})}=
u\sqrt{5+4\cos\angle(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u_{\text{л}}})}.
$$
Для точки старта
$\angle(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u_{\text{л}}})=\pi$, тогда
скорость равна $v_A=u$. Для момента времени $t_1$ этот угол равен
$\pi-\alpha$, тогда скорость равна $v_1=u\sqrt3$.
Скорость лодки равна векторной сумме скоростей течения воды и лодки
относительно воды. Скорость течения не меняется ни по модулю, ни по направлению. Скорость лодки не меняется по модулю, но меняется по направлению. Производная вектора скорости лодки по модулю равна произведению
угловой скорости вращения вектора $\overrightarrow{u_{\text{л}}}$ на модуль
этого вектора. Получим выражение для ускорения лодки:
$$
\begin{gathered}
\overrightarrow{a_{\text{абс}}}=\dfrac d{dt}(\overrightarrow{u}+
\overrightarrow{u_{\text{л}}})=\dfrac{d\overrightarrow{u}}{dt}+
\dfrac{d\overrightarrow{u_{\text{л}}}}{dt}=\overrightarrow{a_{\text{л}}},\\
a_{\text{л}}=2u\cdot\omega_\alpha=2u\,\dfrac{d\alpha}{dt}.
\end{gathered}
$$
Для нахождения производной угла $\alpha$ надо компоненту скорости,
перпендикулярную отрезку $BC$, поделить на расстояние $r$:
$$
\begin{gathered}
v_\perp=2u-u\cos\alpha,\\
\dfrac{d\alpha}{dt}=\omega_\alpha=\dfrac{2u-u\cos\alpha}r.
\end{gathered}
$$
В момент выхода из пункта $A$ угол $\alpha=0$, поэтому
$$
\dfrac{d\alpha}{dt}=\dfrac ul,\quad a_A=\dfrac{2u^2}l.
$$
В момент времени $t_1$ угол $\alpha=\dfrac\pi3$, значит,
$$
\dfrac{d\alpha}{dt}=\dfrac{\,\dfrac{3u}2\,}{\,\dfrac{2l}3\,}=\dfrac{9u}{4l},
\quad a_1=\dfrac{9u^2}{2l}.
$$
В пункте отправления скорость и ускорение взаимно перпендикулярны, поэтому
найти радиус кривизны траектории можно следующим образом:
$$
R_A=\dfrac{v_A^2}{a_A}=\dfrac l2.
$$
Для момента времени $t_1$ найдём проекцию ускорения на перпендикуляр к скорости движения, т. е. на ось $x$:
$$
a_{1x}=a_1\sin\alpha=\dfrac{9u^2\sqrt3}{4l},
$$
тогда радиус кривизны траектории в этой точке
$$
R_1=\dfrac{v_1^2}{a_{1x}}=\dfrac{4\sqrt3\,l}9.
$$
