Задача Ф28‍‍

Ясно, что при установившемся процессе поток тепла (т. е. количество тепла в единицу времени) через любое сечение, параллельное пластинам, будет постоянным.

Рассмотрим вначале случай а), когда длина свободного пробега молекул газа мала по сравнению с расстоянием между экранами. В этом случае перенос тепла связан с беспорядочным тепловым движением молекул газа. При тепловом движении происходит обмен молекулами газа между очень близкими областями газа с разной температурой. При столкновении молекулы, имеющие большую энергию, отдают часть энергии молекулам с меньшей энергией. При этом поток тепла между любыми двумя сечениями, параллельными пластинам, пропорционален разности температур этих сечений и обратно пропорционален расстоянию $l$‍‍ между сечениями: $Q\sim\dfrac{T_2-T_1}l$‍‍ или $Q=\varkappa\dfrac{\Delta T}l$‍,‍ где $\varkappa$‍‍ — коэффициент теплопроводности. При внесении экранов каждый из них примет температуру газа в том месте, где он находится. Распределение температуры в пространстве между пластинами не изменится, а значит, не изменится и теплопроводность между пластинами — количество тепла, переносимое между пластинами в единицу времени. При малом расстоянии свободного пробега молекул газа обмен молекулами происходит между областями, находящимися на расстоянии, равном примерно длине свободного пробега молекул. Поэтому экраны, расстояние между которыми много больше длины свободного пробега, не могут оказать влияния на теплопроводность между пластинами.

В случае б), когда длина свободного пробега молекул газа больше расстояния между пластинами, обычное понятие теплопроводности в газе — явления, связанного со столкновениями молекул газа, вообще говоря, теряет смысл. Но перенос тепла, конечно, существует и в этом случае. Представить его можно так: молекулы газа при ударах о более нагретую пластину приобретают некоторую энергию и, отразившись, летят к более холодной пластине; там они отдают часть энергии и отражаются от холодной пластины с энергией, соответствующей температуре этой пластины. Количество тепла, переносимого между пластинами, не зависит от расстояния между ними и пропорционально разности температур между пластинами и числу ударов молекул о стенки. Нетрудно сообразить, что при внесении экранов число ударов молекул об экраны будет таким же, как и число ударов о пластины до внесения экранов. Но теперь количество тепла, которое будет переноситься с одной пластины на другую, пропорционально не разности температур пластин, а разности температур между соседними экранами: перенос тепла между пластинами такой же, как между двумя соседними экранами, а перенос тепла между экранами пропорционален разности их температур. Так как при внесении экранов расстояние между ними в $k+1$‍‍ раз меньше расстояния между пластинами (при внесении $k$‍‍ экранов образуется $k+1$‍‍ промежутков), то разность температур соседних экранов в $k+1$‍‍ раз меньше разности температур пластин — сумма разностей температур между пластинами равна разности температур пластин: $$ \Delta T_{\text{п}}=\Delta T_1+\Delta T_2+\ldots+\Delta T_{k+1}=(k+1)\,\Delta T_{\text{э}}. $$ Это означает, что количество тепла, переносимого за единицу времени между пластинами, при внесении экранов уменьшается в $k+1$‍‍ раз.