Задача Ф27‍‍

Сила давления на стол равна сумме сил тяжести, действующих на колокол и воду: $F=Mg+\dfrac43\pi R^3\rho g$‍.‍ Но в тот момент, когда вода приподнимает колокол и начинает подтекать, колокол сам не давит на стол. Поэтому сила давления на стол равна давлению воды, умноженному на площадь основания сосуда. Давление воды на стол во всех точках одинаково и равно $\rho gR$‍,‍ поэтому $F=\rho gR\cdot\pi R^2$‍.‍ Это означает, что $$ \pi R^3\rho g=Mg+\dfrac43\pi R^3\rho g. $$ Отсюда $M=\dfrac13\pi R^3\rho$‍.‍

Интересную идею решения предложил Анатолий Воровлянский из Горького.

Предположим, что колокол помещён в цилиндрический сосуд радиуса и высоты $R$‍.‍ Заполним этот сосуд водой и будем считать, что масса колокола пренебрежимо мала. Нетрудно сообразить, что так как давления на колокол снаружи и изнутри во всех точках равны друг другу (это следует из закона Паскаля и из условия, что колокол очень тонкий), то равновесие воды не нарушится, если колокол вообще убрать. Давление воды на стол в этом случае тоже не изменится. Но это означает, что сила давления воды, которую мы долили в цилиндрический сосуд, действует так же, как колокол, а значит, масса колокола как раз равна массе долитой воды $$ M=(V_{\text{цилиндра}}-V_{\text{полушара}})\rho=\left(R\pi R^2-\dfrac23\pi R^3\right)\rho=\dfrac13\pi R^3\rho.$$