Рассмотрим вначале случай $a\lt g$. Запишем уравнение движения тела:
$$
Ma=Mg-N-T.
$$
$Mg$ — действующая на тело сила тяжести, $N$ — сила реакции подставки, и $T$ — сила натяжения пружины. Считая, что пружина подчиняется закону Гука, мы можем записать, что $T=kx$, где $x$ — растяжение пружины. Подставив
выражение для $T$ в уравнение движения и учитывая, что в тот момент, когда
тело отрывается от подставки, сила реакции подставки становится равной нулю,
получим уравнение
$$
Ma=Mg-kx.
$$
Из этого уравнения найдём, что тело отрывается от подставки после того, как подставка и тело пройдут расстояние
$$
x=\dfrac{M(g-a)}k.
$$
С другой стороны, так как подставка и тело вначале двигались
равноускоренно с ускорением $a$, то мы можем записать, что $$
x=\dfrac{at^2}2
$$
($t$ — время с момента начала движения подставки до того момента, когда тело
отрывается от неё). Это означает, что $$
\dfrac{at^2}2=\dfrac{M(g-a)}k.
$$
Отсюда
$$
t=\sqrt{2\dfrac Mk\cdot\dfrac{g-a}a}.
$$
Найдём теперь максимальное растяжение пружины $x_0$. Воспользуемся для этого законом сохранения энергии. Конечно, нам нельзя приравнять
потенциальную энергию тела в тот момент, когда пружина не была растянута, и потенциальную энергию пружины в тот момент, когда пружина максимально
растянута: кроме силы тяжести и силы натяжения пружины на тело действовала
ещё и сила реакции подставки. Работа, совершённая этой силой, очевидно, не равна нулю. Зато после того, как тело оторвалось от подставки, мы можем
считать, что полная энергия тела и пружины не меняется.
Запишем выражение для энергии пружины и груза в тот момент, когда груз
оторвался от подставки. В этот момент груз имел скорость
$V=at=a\sqrt{2\dfrac{M(g-a)}{ka}}$, кинетическую энергию
$\dfrac{MV^2}2=\dfrac{M^2(g-a)a}k$ и потенциальную энергию
$$
Mg(x_0-x)=Mgx_0-\dfrac{M^2(g-a)g}k
$$
(мы считаем, что потенциальная энергия груза равна нулю, когда пружина
максимально растянута). Так как в этот момент пружина была растянута на длину $x=\dfrac{M(g-a)}k$, то потенциальная энергия деформации пружины равна
$\dfrac{kx^2}2=\dfrac{M^2(g-a)^2}{2k}$. Складывая энергию тела и пружины,
найдём, что их полная энергия равна
$$
W_1=\dfrac{M^2(g-a)a}k+Mgx_0-\dfrac{M^2(g-a)g}k+\dfrac{M^2(g-a)^2}{2k}=
Mgx_0-\dfrac{M^2(g-a)^2}{2k}.
$$
В тот момент, когда пружина максимально растянута, скорость груза, а значит,
и его кинетическая энергия равны нулю. Поэтому энергия груза и пружины будет
равна
$$
W_2=\dfrac{kx_0^2}2.
$$
Записав, что $W_1=W_2$, получим уравнение
$$
\dfrac{kx_0^2}2-Mgx_0+\dfrac{M^2(g-a)^2}{2k}=0.
$$
Решая его, находим
$$
x_0=\dfrac{Mg}k\pm\dfrac{M\sqrt{a(2g-a)}}k.
$$
Максимальное растяжение пружины должно быть больше её растяжения при равновесии тела, когда действующая на тело сила тяжести $Mg$ ypasновешена
силой натяжения пружины $T=kx_1$: при прохождении положения равновесия тело
будет иметь некоторую скорость, так что обязательно проскочит его. Поэтому,
так как $x_1=\dfrac{Mg}k$ и $x_0\gt x_1$, то $$
x_0=\dfrac{Mg}k+\dfrac{M\sqrt{a(2g-a)}}k.
$$
Имеет ли физический смысл второе значение $x_0$? Да, но оно даёт нe максимальное, а минимальное растяжение пружины при колебании тела. Если мы считаем, что потенциальная энергия тела равна нулю, когда пружина растянута
на величину $x_0$, то при минимальном растяжении пружины, записав закон
сохранения энергии, мы получили бы такое же уравнение, как и при максимальном.
Нетрудно определить амплитуду колебаний тела. Она равна разности значений
корней уравнения для $x_0$, т. е. $\dfrac{2M\sqrt{a(2g-a)}}k$.
Если $a\ge g$, то тело оторвётся от подставки, как только
подставка начнёт двигаться. Записав закон сохранения энергии, найдём, что в этом случае максимальное растяжение пружины равно $\dfrac{2Mg}k$.
Правильное решение этой задачи прислал Н. Федин
из Омска.
