На горизонтальной плоскости находятся две одинаковые тонкостенные трубы массы $m$ каждая. Оси их параллельны, а радиусы равны $R$. Вначале одна из труб покоится, а вторая катится без проскальзывания по направлению к первой до столкновения. Скорость поступательного движения трубы равна $v_0$. Как 3aвисят от времени (нарисуйте графики) поступательные и угловые скорости вращения труб? Коэффициент трения скольжения труб о горизонтальную поверхность равен $k$, трение между трубами при столкновении пренебрежимо мало, удар абсолютно упругий.
Так как трение между трубами пренебрежимо мало́, то можно считать, что при соударении труб вращение одной из них не передаётся второй. Поэтому,
рассматривая соударение труб, мы можем не учитывать вращение первой
(первоначально движущейся) трубы.
Запишем для столкновения труб законы сохранения энергии и импульса:
$$
mv_0=mv_1+mv_2,\quad\dfrac{mv_0^2}2=\dfrac{mv_1^2}2+\dfrac{mv_2^2}2
$$
($v_1$ и $v_2$ — скорости поступательного движения соответственно первой и второй труб после соударения).
Решая эти уравнения совместно, найдём, что $v_1=0$ и $v_2=v_0$, т. е. при соударении трубы обмениваются скоростями поступательного движения — точно
так же, как при соударении двух одинаковых шариков.
Рассмотрим теперь, что будет происходить с первой, первоначально
двигавшейся трубой после удара. В системе координат, связанной с осью трубы,
катящейся без проскальзывания по плоскости со скоростью $v_0$, скорость
точки, касающейся плоскости, равна $-v_0$. Это означает, что такая труба
вращается вокруг своей оси так, что линейная скорость вращения точек её поверхности равна по величине скорости поступательного движения оси трубы.
Поэтому первая труба после столкновения вращается вокруг своей оси с угловой
скоростью $\omega=\dfrac{v_0}R$.
Рис. 20
Сила трения $F_{\text{тр}}=kmg$ (рис. 20), действующая на эту трубу,
замедляет её вращение и одновременно сообщает ей ускорение
$a=\dfrac{F_{\text{тр}}}m=kg$ в направлении первоначального движения трубы.
К моменту $t$ эта труба будет иметь скорость поступательного движения
$u_1'=at=kgt$ и будет вращаться вокруг своей оси с угловой скоростью
$\omega_1'=\dfrac{v_0-kgt}R$. Скорость поступательного движения трубы
увеличивается, а скорость вращения трубы уменьшается пропорционально
времени. К моменту $t_0$, когда скорость поступательного движения оси трубы
станет равна линейной скорости вращения трубы вокруг оси, проскальзывание
трубы относительно плоскости прекратится, и после этого ни скорость вращения
трубы $\omega_1'$, ни скорость поступательного движения оси трубы $u_1'$ уже не будут меняться. Из условия $kgt_0=v_0-kgt_0$ найдём, что $t_0=\dfrac{v_0}{2kg}$. В этот момент
$$
u_1=\dfrac{v_0}2\quad\text{и}\quad\omega_1=\dfrac{v_0}{2R}.
$$
Рассматривая аналогично движение второй трубы, найдём, что действующая на неё сила трения уменьшает скорость её поступательного движения,
$u_2=v_0-kgt$, и увеличивает угловую скорость вращения
$\omega_2=\dfrac{kgt}R$. К моменту $t_0=\dfrac{v_0}{2kg}$ проскальзывание
трубы относительно плоскости прекратится. В этот момент труба будет иметь не меняющиеся в дальнейшем скорость поступательного движения $u_2=\dfrac{v_0}2$
и угловую скорость вращения вокруг оси $\omega_2=\dfrac{v_0}{2R}$.
Графики зависимости скоростей поступательного движения труб и их угловых
скоростей вращения от времени показаны на рисунке 21.
Верное решение этой задачи прислали Михаил Кузнецов
и Сергей Юшманов.
