При полностью заторможенном якоре по его обмотке идёт ток $I_0=\dfrac{\mathscr{E}}R$. Это означает, что сопротивление обмотки якоря
$R=\dfrac{\mathscr{E}}{I_0}$.
При вращении якоря электродвигателя в его обмотке возникает э. д. с.
индукции $\mathscr{E}_{\text{и}}$, пропорциональная угловой скорости
вращения якоря:
$$
\mathscr{E}_{\text{и}}=k\omega
$$
($k$ — коэффициент пропорциональности).
Запишем для электродвигателя закон сохранения энергии:
$$
\mathscr{E}It=I^2Rt+Nt.
$$
Или, сократив на время $t$ работы двигателя, получим
$$
\mathscr{E}I=I^2R+N;
$$
здесь $N$ — мощность, потребляемая электродвигателем от сети, $I^2R$ —
тепловые потери в обмотке якоря, $N$ — мощность, отдаваемая нагрузке, $R$ —
сопротивление обмотки якоря и $I$ — ток в обмотке.
Из этого уравнения следует, что при отсутствии нагрузки ($N=0$) ток через
обмотку якоря равен нулю. Но по закону Ома ток, идущий через обмотку, должен
быть равен $I=\dfrac{\mathscr{E}-\mathscr{E}_{\text{и}}}R$. Это означает,
что в отсутствие нагрузки э. д. с. индукции, возникающая в обмотке якоря,
равна э. д. с. источника: $\mathscr{E}=\mathscr{E}_{\text{и}}$.
После переключения одного из источников в обмотках якорей будет
возбуждаться э. д. с. $\mathscr{E}_{\text{и}}'=k\omega=\mathscr{E}_{\text{и}}
\dfrac\omega{\omega_0}=\mathscr{E}\dfrac\omega{\omega_0}$. При этом по обмоткам будут идти токи
$$
\begin{align*}
I_1&=\dfrac{\mathscr{E}-\mathscr{E}_\text{и}'}R=\dfrac{\mathscr{E}-
\mathscr{E}\dfrac\omega{\omega_0}}{\dfrac{\mathscr{E}}{I_0}}=I_0\left(
1-\dfrac\omega{\omega_0}\right),\\
I_2&=\dfrac{\mathscr{E}+\mathscr{E}_\text{и}'}R=I_0\left(1+\dfrac\omega
{\omega_0}\right).
\end{align*}
$$
Причём как работа источников, так и работа внешней силы будут идти на нагревание обмоток. Поэтому
$\mathscr{E}I_1+\mathscr{E}I_2+N'=I_1^2R+I_2^2R$.
Так как $N'=F\cdot v=F\cdot r\omega=M\omega$ ($F$ — приложенная к якорю
внешняя сила, $M$ — её момент относительно оси и $v=\omega r$ — угловая
скорость точек на поверхности оси якорей), то, заменив $N'$, $I_1$, $I_2$ и $R$ их выражениями через $M$, $\omega$, $\omega_0$ и $\mathscr{E}$,
получим
$$
\begin{gather*}
M\omega+\mathscr{E}I_0\left[\left(1+\dfrac\omega{\omega_0}\right)+
\left(1-\dfrac\omega{\omega_0}\right)\right]=\\
=I_0^2\dfrac{\mathscr{E}}{I_0}\left[\left(1+\dfrac\omega{\omega_0}\right)^2+
\left(1-\dfrac\omega{\omega_0}\right)^2\right],
\end{gather*}
$$
откуда
$$
M\omega+2\mathscr{E}I_0=\mathscr{E}I_0\left[2+2\left(\dfrac\omega{\omega_0}
\right)^2\right]
$$
и $$
M=\dfrac{2\mathscr{E}I_0\omega}{\omega_0^2}.
$$
