Параллельно оси цилиндра радиуса $R$ на расстоянии $\dfrac R2$ от его центра просверлено отверстие. Радиус отверстия равен $\dfrac R2$. Цилиндр лежит на дощечке, которую медленно поднимают за один конец (рис. 2). Найти предельный угол наклона дощечки, при котором цилиндр ещё будет находиться в равновесии. Коэффициент трения цилиндра о дощечку равен $0{,}2$.
Найдём сначала положение центра тяжести цилиндра с отверстием. Ясно, что он должен лежать на прямой, проходящей через центры цилиндра и отверстия.
Центр тяжести целого цилиндра лежит на его оси, а центр тяжести цилиндра,
заполняющего отверстие, — на оси отверстия. Рассматривая целый цилиндр как два тела — цилиндр с отверстием и «вставка», заполняющая отверстие, и обозначив через $x$ расстояние от оси цилиндра до центра тяжести цилиндра с отверстием (рис. 18), мы можем записать, что $$
x\cdot\left(Mg-Mg\dfrac{\pi\left(\dfrac R2\right)^2}{\pi R^2}\right)=
\dfrac R2Mg\dfrac{\pi\left(\dfrac R2\right)^2}{\pi R^2}
$$
($M$ — масса целого цилиндра, $M\dfrac{\pi\left(\dfrac R2\right)^2}{\pi R^2}$ — масса «вставки). Отсюда $\dfrac34x=\dfrac18R$, т. е. центр тяжести
цилиндра с отверстием находится на расстоянии $\dfrac16R$ от его оси.
Рис. 19
Если дощечку медленно поднимать за один из концов, цилиндр будет
поворачиваться, занимая устойчивое положение, при котором его центр тяжести
будет находиться на вертикали, проходящей через точку касания цилиндра с дощечкой. При этом положения, которые может занимать центр тяжести цилиндра,
лежат на окружности радиуса $\dfrac16R$ с центром на оси цилиндра. Очевидно,
что устойчивое положение невозможно, и цилиндр начнёт скатываться без проскальзывания, если вертикаль, проходящая через точку касания цилиндра с дощечкой, не пересекается с этой окружностью (рис. 19). В этом случае
момент силы тяжести относительно точки касания цилиндра с дощечкой не может
быть равен нулю ни при каком положении цилиндра. Таким образом, угол, при котором цилиндр начнёт скатываться, равен
$\alpha_1=\arcsin\dfrac{\dfrac16R}R=\arcsin\dfrac16$. Но нам ещё нужно
проверить, не начнётся ли скольжение цилиндра по дощечке при меньшем угле.
Скольжение наступит, когда составляющая силы тяжести вдоль дощечки станет
равной максимальному значению силы трения:
$M_1g\sin\alpha_2=kM_1g\cos\alpha_2$ ($M_1$ — масса цилиндра с отверстием),
откуда
$$
\alpha_2=\arctg k=\arctg\dfrac15=\arcsin\dfrac{\dfrac15}{\sqrt{1+\left(
\dfrac15\right)^2}}=\arcsin\dfrac1{\sqrt{26}}.
$$
Так как $\alpha_1\lt\alpha_2$, то качение цилиндра начнётся раньше
скольжения и цилиндр потеряет устойчивость при угле наклона дощечки
$$
\alpha=\alpha_1=\arcsin\dfrac16.
$$
Правильно решили эту задачу Люцман Петрасик,
Владимир Метлицкий, Михаил Кузнецов (дер. Гольчевская
Вологодской обл.), Владимир Корнеев (Москва), Александр
Карпенко, Алексей Ефимов (Москва) и другие.
