Центр масс системы не должен двигаться (или может двигаться равномерно и прямолинейно), поэтому шарики колеблются в противофазе с одинаковой частотой,
а их отклонения $x_1$ и $x_2$ от положения равновесия удовлетворяют
соотношению $c_1x_1=c_2x_2$, где $c_1$ и $c_2$ — коэффициенты жёсткости
соответствующих кусков пружины длиной $l_1$ и $l_2$ ($l_1$ и $l_2$ —
расстояния от шариков до центра масс системы;
$$
\left.l_1=l\dfrac{m_2}{m_1+m_2},\quad l_2=l\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\right).
$$
Удлинение $\dfrac1q$-й части пружины всегда в $q$ раз меньше удлинения всей
пружины, т. е. $\dfrac1q$-я часть пружины имеет жёсткость в $q$ раз большую,
чем жёсткость всей пружины. Поэтому $c_1=\dfrac{m_1+m_2}{m_2}c$. Отсюда
следует, что период колебаний шариков
$$
T=2\pi\sqrt{\dfrac{m_1m_2}{(m_1+m_2)c}}.
$$
Интересно проверить ответ, взяв какой-нибудь предельный случай. Так поступил ученик 10 класса школы № 20 из г. Вологды
Е. Тихонов. Предположим, что масса $m_2$ очень велика: $m_2\gg
m_1$. Тогда шарик с массой $m_1$ должен колебаться так, как если бы второй шар был неподвижно закреплён, и $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m_1}c}$. Проверим нашу формулу:
$$
T=2\pi\sqrt{\dfrac{m_1}{c\left(1+\dfrac{m_1}{m_2}\right)}}\approx
2\pi\sqrt{\dfrac{m_1}c}.
$$
