Задача Ф18‍‍

Совместим какие-нибудь зубья гребёнок (рис. 9). Тогда следующие зубья будут находиться на расстоянии $\dfrac15~\text{см}-\dfrac16~\text{см}=\dfrac1{30}~\text{см}$‍‍ друг от друга. Сместим теперь гребёнку на это расстояние. Тогда картина светлых и тёмных полос сместится на $\dfrac15~\text{см}$‍‍ — расстояние между зубьями неподвижной гребёнки. Если гребёнку сместить на 1 см, то картина светлых и тёмных полос сместится на $\dfrac15~\text{см}\cdot30=6~\text{см}$‍.‍

Это означает, что при движении гребёнки с большей частотой зубьев со скоростью 1 см/с светлые и тёмные полосы перемещаются со скоростью $v=6~\text{см/с}$‍‍ в ту же сторону, в которую смещается подвижная гребёнка.

Картина чередующихся светлых и тёмных полос, движущихся с постоянной скоростью, — очень удобная модель перемещения волн любой физической природы. Если смотреть на движущиеся полосы через щель (рис. 10), то щель будет периодически закрываться то жёлтыми, то чёрными полосами: мы увидим колебания. Чёрному и жёлтому цвету полос соответствуют две противоположные фазы колебаний (рис. 11). Длина волны равна суммарной ширине светлой и тёмной полос. Подсчитав число чёрных или жёлтых полос, проходящих мимо щели за одну секунду, можно определить частоту колебаний и их период.

Эта простая модель позволяет разобраться во многих физических явлениях и провести много интересных опытов.

С помощью чёрно-жёлтых полос можно моделировать не только линейные волны, но и любые другие, например кольцевые (рис. 12). Движение таких кольцевых волн можно показать, нарисовав чёрно-жёлтую Архимедову спираль (рис. 13). При вращении спирали через щель будет видно, как волны бегут к центру или от центра в зависимости от направления вращения спирали.

Если полосы не перемещаются, мы получим картину неподвижных волн. Такие картинки называют растрами. Неподвижные волны-растры не нужно путать со стоячими волнами. Модель стоячих волн — это чередующиеся чёрно-жёлтые полосы, периодически меняющие свою окраску на противоположную.

Когда несколько синусоидальных волн накладываются друг на друга, возникают новые, уже не синусоидальные волны. Их называют групповыми волнами. Групповые волны отличаются от складываемых синусоидальных волн и длиной, и скоростью распространения, и другими параметрами. Простейшие групповые волны — волны биений. Они получаются, когда складываются две волны с неодинаковыми, но близкими друг к другу длинами.

Для того чтобы построить модель групповых волн, нужно наложить друг на друга две системы полос. Если эти системы одинаковы, их можно наложить так, что полосы одной системы совпадут с полосами другой. Такие волны называются когерентными. Если системы полос немного отличаются друг от друга расстоянием между полосами, то мы получим картину биений (рис. 14). Подобная картина получалась у вас в опытах с расчёсками.

Нетрудно найти длину волны биений, порождаемых волнами с длинами $\lambda_1$‍‍ и $\lambda_2$‍‍ ($\lambda_1\gt\lambda_2$‍).‍ Если две чёрные полосы совпадают, то ближайшими совпадающими красными полосами будут $n$‍‍-я линия системы полос с длиной волны $\lambda_1$‍,‍ и $(n+1)$‍‍-я линия системы полос с длиной волны $\lambda_2$‍.‍ Это означает, что длина волны биений равна $$ L=n\lambda_1=(n+1)\lambda_2. $$ Из равенства $n\lambda_1=(n+1)\lambda_2$‍‍ найдём, что $n=\dfrac{\lambda_2}{\lambda_1-\lambda_2}$‍.‍ Поэтому $L=\dfrac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1-\lambda_2}$‍.‍

Чем меньше отличаются друг от друга накладываемые волны, тем больше длина групповых волн. Это используется при измерении длины волны высокочастотных колебаний. Для измерения подбирают длину второй волны так, чтобы при сложении волн получались биения с большой длиной волны. Такие биения легко увидеть и измерить с помощью осциллографа. Зная длину волны биений и длину волны одних колебаний, нетрудно определить длину волны исследуемых колебаний.

Волны биения, которые показаны на рисунке 14, — неподвижные волны. Если одну или обе системы волн привести в движение, то будут перемещаться и групповые волны. Скорость о групповых волн можно найти так же, как мы находили скорость движения групповых волн, получающихся при наложении — расчёсок. Она равна $$ v=\dfrac{\lambda_1v_2-\lambda_2v_1}{\lambda_1-\lambda_2}, $$ где $v_1$‍‍ — скорость волн с длиной $\lambda_1$‍,‍ а $v_2$‍‍ — скорость волн с длиной $\lambda_2$‍.‍

Эта формула является обобщением формулы, выведенной нами для расчёсок.

Таким способом эту задачу решили Вячеслав Милешин (Бельцы, Молдавия) и Александр Карпенко (Лисичанск, Ворошиловградская обл.). Похожим способом решили её Люцман Петрасик (Лида, Гродненская обл.) и Сергей Юшманов (Виляны, Латвия). Некоторые из читателей, правильно решая задачу, неверно подсчитали расстояние между зубьями расчёсок. Если расчёска содержит $n$‍‍ зубьев на 1 см, то на 1 см приходится ещё и $n$‍‍ промежутков между зубьями (а не $n-1$‍).‍ Из двух крайних зубьев на одном сантиметре первый принадлежит этому сантиметру, а последний — следующему.