Для решения задачи нам необходимо знать, какое поле создаёт большая
однородно заряженная пластина (большая по сравнению с расстоянием от пластины до точки, поле в которой нас интересует). Будем исходить из того,
что, как мы знаем, электрическое поле в плоском конденсаторе равно $\dfrac
ud=\dfrac Q{Cd}=\dfrac Q{\varepsilon_0S}$, где $C$ — ёмкость конденсатора,
$u$ — разность потенциалов между его пластинами, $Q$ — заряд конденсатора,
$S$ — площадь пластин, $d$ — расстояние между пластинами и $\varepsilon_0$ —
электрическая постоянная. Ho поле в конденсаторе равно сумме полей,
создаваемых его пластинами. Это означает, что каждая из пластин конденсатора
создаёт поле, равное $\dfrac12\,\dfrac Q{\epsilon_0S}$. Такое поле должна
создавать и просто одна большая равномерно заряженная пластина.
Таким образом, мы нашли, что средняя подвижная пластина создаёт
поле $\dfrac12\,\dfrac q{\epsilon_0S}$. Ho поле системы зарядов равно сумме
полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. Поэтому поле между
обкладками равно сумме полей, создаваемых обкладками и перемещаемой
пластиной. Будем считать, что суммарный заряд накоротко замкнутых пластин
равен нулю. Тогда, если заряд одной из обкладок равен $Q$, то заряд второй обкладки равен минус $Q$, и поле, создаваемое этими пластинами,
точно такое же, как поле в конденсаторе с зарядом $Q$ $E=\dfrac
Q{\varepsilon_0S}$. С одной стороны от пластины поля обкладок и подвижной
пластины направлены в одну сторону, с другой — в противоположную. Поэтому
слева от пластины (рис. 18) (для определённости мы считаем, что $q\gt0$) поле
$$
E_1=\dfrac12\,\dfrac q{\varepsilon_0S}+\dfrac Q{\varepsilon_0S}=
\dfrac{q+2Q}{2\varepsilon_0S},
$$
а справа от неё поле
$$
E_2=\dfrac Q{\varepsilon_0S}-\dfrac12\,\dfrac q{\varepsilon_0S}=
\dfrac{2Q-q}{2\varepsilon_0S},
$$
Рис. 18
Работа, необходимая для того, чтобы перенести единичный положительный
заряд от одной обкладки нашего конденсатора к другой, равна
$A=E_1d_1+E_2d_2$. Но ведь конденсатор накоротко замкнут, и разность
потенциалов между обкладками равна нулю. Следовательно, $E_1d_1+E_2d_2=0$.
Или $\dfrac{2Q+q}{2\varepsilon_0S}{d_1}+\dfrac{2Q-q}{2\varepsilon_0S}(d-d_1)=0$.
Упростив это уравнение, получим
$$
Q(d-d_1)+qd_1=0.\tag1
$$
Когда средняя пластина передвинется на расстояние $x$, по проводу,
соединяющему обкладки, пройдёт заряд $\Delta Q$, и заряды обкладок будут
равны $Q+\Delta Q$ и $-Q-\Delta Q$. Так как и в этом случае разность
потенциалов между обкладками равна нулю, то, рассуждая так же, как в первом
случае, получим уравнение
$$
\dfrac{q+2(Q-\Delta Q)}{2\varepsilon_0S}(d_1+x)+
\dfrac{2(Q-\Delta Q)-q}{2\varepsilon_0S}(d-d_1-x)=0
$$
или $$
(Q-\Delta Q)(d-d_1-x)+q(d_1+x)=0.\tag2
$$
Вычитая из уравнения (2) уравнение (1), найдём, что $\Delta Q=q\dfrac xd$.
