Задача Ф154‍‍

Для оценки будем считать, что капли тумана — это одинаковые непрозрачные шарики радиуса $R$‍.‍ Каждая из таких капель имеет площадь поперечного сечения $s=\pi R^2$‍.‍ Это означает, что $n$‍‍ капель, находящихся в $1~\text{м}^3$‍‍ воздуха и расположенных хаотично, «перекрывают» площадь, равную примерно $S=n\pi R^2$‍.‍ При такой оценке мы не учитываем, что капли частично перекрывают друг друга. Однако для оценки — получения примерного ответа — это несущественно.

Так как видимость составляет 10 м, то капли тумана, которые находятся в прямоугольном параллелепипеде с площадью основания $1~\text{м}^2$‍‍ и длиной 10 м, должны «перекрывать» площадь в $1~\text{м}^2$‍.‍ В этом параллелепипеде находится $10n$‍‍ капель, и перекрываемая ими площадь $$ 10\pi nR^2=1~\text{м}^2. $$ Отсюда можно найти $n$‍:‍ $$ n=\dfrac1{10\pi R^2}.\tag1 $$

В эту формулу входит неизвестный радиус капли. Найдём его. На каплю тумана действуют две силы: сила тяжести, которая постоянна, и направленная вверх сила сопротивления воздуха, которая растёт с увеличением скорости падения капли. При падении капли непременно наступает такой момент, когда эти силы делаются равными друг другу. После этого скорость капли перестаёт изменяться, и капля падает равномерно со скоростью, которую можно найти из условия равенства силы тяжести и силы сопротивления воздуха: $$ mg=4{,}3Rv $$ ($m=\dfrac43\pi R^3\rho$‍‍ — масса капли, $\rho=10^3~\text{кг/м}^3$‍‍ — плотность воды).

Отсюда $$ \dfrac43\pi R^3\rho g=4{,}3Rv $$ и $$ R^2=\dfrac34\,\dfrac{4{,}3v}{\pi\rho g}\approx\dfrac v{\rho g}~\text{м}^2. \tag2 $$

Так как туман оседает за 2 ч, а высота слоя тумана 200 м, то скорость падения капель тумана равна $$ v=\dfrac{200~\text{м}}{2\cdot3600~\text{с}}\approx0{,}028~\text{м/с}. $$

Подставив это значение скорости падения капли в формулу (2), найдём радиус капли: $$ R=\sqrt{\dfrac{0{,}028}{10^4}}\approx1{,}7\cdot10^{-3}~\text{м}. $$

Теперь из формулы (1) мы можем найти $n$‍:‍ $$ n=\dfrac1{10\cdot3{,}14\cdot(1{,}7)^2\cdot10^{-6}}\approx1{,}1\cdot10^4. $$