Задача Ф13‍‍

Так как цилиндры соединены трубкой, то давления воды в цилиндрах на одинаковых уровнях должны быть одинаковыми. Одинаковы и давления в цилиндрах на том уровне, на котором находится нижний край левого поршня. Но давление в левом цилиндре (рис. 14) на этом уровне равно $\dfrac{(M_0+M)g}{S_2}$‍,‍ а давление на этом уровне в правом цилиндре равно $\dfrac{(M_0+m)g}{S_2}+\rho gy$‍,‍ где $M_0$‍‍ — общая масса поршня, стакана и воды в стакане, а $\rho gy$‍‍ — давление столба воды высотой $y$‍.‍ Тогда из условия равновесия получим: $$ \dfrac{(M_0+M)g}{S_2}=\dfrac{(M_0+m)g}{S_2}+\rho gy. $$ Решив это уравнение, найдём что $$ y=\dfrac{M-m}{\rho S_2}. $$

Теперь определим величину $x$‍.‍ При погружении тела в стакан сила давления на дно стакана возрастает. на величину, равную весу этого тела. С другой стороны, так как тело не тонет и само не давит на дно, то изменение силы давления на дно — это изменение силы давления воды на дно за счёт того, что увеличивается уровень воды. Если уровень воды в стакане поднялся на $\Delta x$‍,‍ то давление воды на дно возросло на $\rho g\,\Delta x$‍,‍ а сила давления — на $\rho g\,\Delta x\,S_1$‍.‍ Таким образом, для левого стакана $\rho g\,\Delta x_1\,S_1=Mg$‍,‍ где $\Delta x_1$‍‍ — изменение уровня воды в левом стакане: $\Delta x_1=\dfrac M{\rho S_1}$‍.‍ Аналогично найдём, что в правом стакане уровень воды при погружении в него тела поднялся на $\Delta x_2=\dfrac m{\rho S_1}$‍.‍ Так как расстояние между дном левого и дном правого стаканов равно $y$‍,‍ то $$ x=y+\Delta x_2-\Delta x_1=\dfrac{(M-m)(S_1-S_2)}{\rho S_1S_2}. $$