Так как шарики одинаковы, то при абсолютно упругих соударениях они будут
обмениваться скоростями. Это следует из законов сохранения энергии и импульса (количества движения) шариков при соударении. В первый раз шарики
столкнутся, когда каждый из них сделает по половине оборота вокруг точки,
относительно которой он вращается. На это потребуется время
$t_1=\dfrac{\pi\cdot2l}{2v}=\dfrac{\pi l}v$. После соударения левый шарик
будет иметь скорость $2v$, а правый — скорость $v$.
Второе соударение шариков произойдёт через время $t_2=\dfrac{4\pi l}v$
после первого, когда правый шарик совершит один оборот вокруг точки $O_1$.
Левый шарик совершит за это время четыре оборота вокруг точки $O$ — у него
вдвое большая скорость, и вращается он по окружности вдвое меньшего радиуса.
При соударении шарики опять обменяются скоростями, и третье соударение
произойдёт через время $t_3=2t_1=\dfrac{2\pi l}v$ после второго, когда
каждый из шариков совершит один оборот. Таким образом, после каждого
нечётного соударения левый шарик будет иметь скорость $2v$, а правый —
скорость $v$, и поэтому следующее, чётное, соударение будет происходить
через время $t'=t_2=t_4=\ldots=\dfrac{4\pi l}v$. После каждого чётного
соударения левый шарик будет иметь скорость $v$, а правый — скорость $2v$ и следующее, теперь уже нёчетное, соударение шариков будет происходить через
время $t''=2t_1=t_3=\ldots=\dfrac{2\pi l}v$ после чётного.
Теперь нетрудно подсчитать, что если $k$ — чётное число, то $k$-e
соударение шариков произойдёт через время
$$
t_k=\left(\dfrac k2-\dfrac12\right)t''+\dfrac k2t'=(3k-1)\dfrac{\pi l}v,
$$
так как всего между шариками произойдёт $\dfrac k2$ чётных соударений и $\dfrac k2$ нечётных. Это означает, что правый шарик должен совершить
$\dfrac k2-\dfrac12$ оборотов, имея скорость $2v$ (здесь мы учли, что до первого соударения шарик совершает лишь половину оборота) и $\dfrac k2$
оборотов вокруг точки $O_1$, имея скорость $v$.
Если $k$ нечётно, то до $k$-го соударения правый шарик должен совершить
$\dfrac{k-1}2$ оборотов, имея скорость $v$, и $\dfrac{k-1}2+1-\dfrac12=\dfrac k2$ оборотов, имея скорость $2v$. Поэтому от начального момента до момента $k$-го соударения в этом случае должно пройти
время
$$
t_k=\dfrac k2t''+\dfrac{k-1}2t'=(3k-2)\dfrac{\pi l}v.
$$
Подсчитаем теперь, сколько раз шарики столкнутся за время $t$. Будем
считать, что $t\gt t_1$. Между двумя последовательными нечётными
соударениями шариков проходит время $t_0=t'+t''$. Нечётных соударений после
первого будет столько, сколько раз $t_0$ содержится в $t-t_1$:
$$
n=\left[\dfrac{t-t_1}{t_0}\right]
$$
(знак $[~]$ означает «целая часть числа»).
Всего между шариками произойдёт $n+1$ нечётных соударений. До последнего
нечётного соударения пройдёт время, равное
$\left[\dfrac{t-t_1}{t_0}\right]t_0+t_1$. За это время между шариками должно
произойти ещё и $n$ чётных соударений. Кроме того, если оставшееся время
$t-\left(\left[\dfrac{t-t_1}{t_0}\right]t_0+t_1\right)$
больше, чем $t'$, то произойдёт ещё одно нечётное соударение. Таким образом,
за время $t$ шарики столкнутся
$$
\begin{align*}
N&=\left[\dfrac{t-t_1}{t_0}\right]+1+\left[\dfrac{t-t_1}{t_0}\right]+
\left[\dfrac{t-\left[\dfrac{t-t_1}{t_0}\right](t_1+t_2)}{t_2}\right]=\\
&=2\left[\dfrac{vt-\pi l}{6\pi l}\right]+\left[\dfrac{vt-\left[\dfrac{vt-\pi
l}{6\pi l}\right]6\pi l}{4\pi l}\right]+1~\text{раз}.
\end{align*}
$$
Комментарии
mpanov: Последнее выражение можно немного упростить:
$$
N=2\left[\dfrac{vt}{6\pi l}-\dfrac16\right]+\left[\dfrac{vt}{4\pi l}-
\dfrac32\left[\dfrac{vt}{6\pi l}-\dfrac16\right]\right]+1.
$$
