Как из четырёх тонких проволочных спиралей с сопротивлениями 10 Ом, 20 Ом, 30 Ом и 40 Ом, рассчитанных на выделение мощности не более 2 Вт на каждой, составить нагреватель наибольшей возможной мощности, если имеется источник тока с э.д.с. 20 В и внутренним сопротивлением 20 Ом?
Докажем вначале, что во внешней цепи выделяется тем большая мощность, чем ближе сопротивление нагрузки к внутреннему сопротивлению источника.
Ток в цепи, состоящей из включённых последовательно источника с э. д. с.
$\mathscr{E}$ и внутренним сопротивлением $r$ и нагрузки с сопротивлением
$R$, равен $\dfrac{\mathscr{E}}{R+r}$. Поэтому мощность, выделяемая нa нагрузке, $W=\dfrac{\mathscr{E}^2}{(R+r)^2}R$. Нарисуем график зависимости
$W$ от сопротивления нагрузки $R$. При $R=0$, $W=0$; при $R\to\infty$ можно
пренебречь $r$ по сравнению с $R$ в знаменателе дроби. Тогда
$W\approx\dfrac{\mathscr{E}^2R}{R^2}=\dfrac{\mathscr{E}^2}R$. Т. е. при больших $R$ ($R\gg r$) rpaфик зависимости $W$ от $R$ — это гипербола,
асимптотически приближающаяся к оси $R$. Так как функция $W(R)$ непрерывна,
равна нулю при $R=0$ и убывает при $R\to\infty$, то она должна иметь
максимум. Найдём его.
Выражение $\dfrac{\mathscr{E}^2R}{(R+r)^2}$ максимально, когда обратное
выражение $\dfrac{(R+r)^2}{\mathscr{E}^2R}$ минимально. Но $$
\dfrac{(R+r)^2}{\mathscr{E}^2R}=\dfrac1{\mathscr{E}^2}\cdot
\dfrac{R^2+2Rr+r^2}R=\dfrac2{\mathscr{E}^2}r+
\dfrac1{\mathscr{E}^2}\left(R+\dfrac{r^2}r\right).
$$
Это выражение минимально, когда минимально выражение $R+\dfrac{r^2}R$.
Так как $R+\dfrac{r^2}R\ge2\sqrt{R\cdot\dfrac{r^2}R}$
(соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух
чисел $R$ и $\dfrac{r^2}R$), то $R+\dfrac{r^2}R\ge2r$. Следовательно,
минимум суммы $R+\dfrac{r^2}R$ paвен $2r$ и достигается при $r=R$.
Итак, мощность, выделяющаяся на нагрузке, максимальна при $R=r$. График
зависимости $W(R)$ показан на рисунке 6. Из графика видно, что $W(R)$
тем больше, чем ближе $R$ к $r$. Это означает, что из спиралей нужно
составить нагреватель с сопротивлением, как можно более близким к 20 Ом. Использовать лишь спираль с сопротивлением 20 Ом нельзя,
так как при этом на ней будет выделяться мощность
$W=\left(\dfrac{\mathscr{E}}{R+r}\right)^2R=5~\text{Вт}$, a каждая из спиралей рассчитана на выделение мощности не более 2 Вт.
Рис. 6Рис. 7
Из всех возможных схем соединения спиралей наилучшая приведена на рисунке 7. Сопротивление такого нагревателя равно 20 Ом,
выделяющаяся в нагревателе мощность
$W=\left(\dfrac{20}{20+20}\right)^2\cdot20=5~\text{Вт}$. Нетрудно
подсчитать, что наибольшая мощность выделяется на спирали с сопротивлением
20 Ом и равна 1,8 Вт.
Очень хорошее решение этой задачи прислал Л. Воронов из г. Ярославля. В приложении к решению задачи он разобрал вопрос о том,
как зависит к. п. д. электроустановки от сопротивления нагрузки.
Так как мощность, отдаваемая источником, равна
$\mathscr{E}I=\dfrac{\mathscr{E}^2}{R+r}$, а полезная мощность, как мы получили, равна $\dfrac{\mathscr{E}^2R}{(R+r)^2}$ то, обозначив отношение
$\dfrac Rr$ через $\alpha$, получим для к. п. д. $\eta$ следующее выражение:
$$
\eta=\dfrac R{R+r}=\dfrac\alpha{1+\alpha}.
$$
К. п. д. велик при больших сопротивлениях нагрузки, когда в цепи идёт
маленький ток. При $\alpha=0$, $\eta=0$; при $\alpha\to\infty$, $\eta\to1$.
При $\alpha=1$, когда в нагрузке выделяется максимальная мощность,
$\eta=0{,}5$ (50%). При этом, конечно, в самом источнике выделяется такая же мощность, как и в нагрузке. Источник становится печкой.
Увеличивая к. п. д. установки, мы одновременно уменьшаем полезную мощность,
выделяющуюся в нагрузке.
