Задача Ф1‍‍

Стержень $AB$‍‍ и поршни находятся в равновесии под действием семи сил: силы $Q$‍,‍ действующей со стороны груза, сил тяжести, действующих на поршни — эти силы пропорциональны площадям поршней: $P_1=k_1d_1^2$‍;‍ $P_2=k_1d_2^2$‍;‍ $P_3=k_1d_3^2$‍‍ и трёх сил давления жидкости на поршни: $N_1$‍,‍ $N_2$‍,‍ $N_3$‍‍ (рис. 10). Так как уровни жидкости в сосудах одинаковы, давления на все поршни равны, а силы давления относятся как площади поршней: $N_1:N_2:N_3=d_1^2:d_2^2:d_3^2$‍.‍ Поэтому $N_1=k_2d_1^2$‍,‍ $N_2=k_2d_2^2$‍,‍ $N_3=k_3d_3^2$‍.‍ Равнодействующие сил, приложенных к каждому из поршней, равны: $F_1=N_1-P_1=(k_2-k_1)d_1^2=kd_1^2$‍,‍ $F_2=kd_2^2$‍,‍ $F_3=kd_3^2$‍.‍

Обозначив через $x$‍‍ расстояние от середины стержня до точки, в которой прикреплён груз, запишем условия равновесия стержня:

1. равенство нулю суммы всех сил, действующих на стержень: $F_1+F_2+F_3-Q=0$‍‍ и
2. равенство нулю суммы моментов всех сил, действующих на стержень, относительно середины стержня: $F_1a-F_3a-Qx=0$‍.‍

Подставляя в эти уравнения выражения для $F_1$‍,‍ $F_2$‍‍ и $F_3$‍,‍ а затем решая эти уравнения совместно, найдём, что $$ x=\dfrac{d_1^2-d_3^2}{d_1^2+d_2^2+d_3^2}a. $$

Никто из читателей, приславших решение этой задачи, не учитывал масс поршней. Но только двое — Г. Кальшин из Кировобада и А. Карпенко из г. Лисицанска Ворошиловградской области — объяснили, почему это можно сделать. Так как поршни сделаны из одного и того же материала и имеют одинаковую толщину, то дополнительные давления на воду не зависят от диаметров поршней. Условие же равновесия поршней — это равенство давлений на воду во всех цилиндрах (так как уровни воды в цилиндрах одинаковы). Дополнительные давления из-за поршней этому условию удовлетворяют автоматически.