Никитин М. А.

Размерности и волныНикитин М. А. Размерности и волны // Квант. — 2025. — № 8. — С. 7‍—‍13.‍‍

В статье «Замечательные размерности»‍ (см. «Квант» №7) было рассказано о больших возможностях, которые предоставляет анализ физических размерностей для получения полезных функциональных соотношений между физическими величинами. Основное внимание в той статье было уделено использованию метода размерностей для задач, связанных с гравитацией и жидким состоянием обычного и ядерного вещества. В новой статье метод размерностей использован для получения полезных функциональных связей для мира волн. С его помощью проведены численные оценки, позволяющие лучше представлять волновые явления.

Волны в различных физических системах

Волны являются физическим феноменом, который сопровождает человека всегда и всюду. Зрение, слух и интернет — это проявление природных и искусственно обретённых способностей людей пользоваться волнами для удовлетворения своих потребностей видеть, слышать и познавать. Уже одно это указывает на необходимость понимания того, что представляют собой волны разного типа и от чего зависят их наблюдаемые характеристики.

Одной из таких характеристик является скорость волны, с которой передаются в пространстве импульс и энергия. Для волн, которые можно наблюдать зрительно (поверхностные волны на воде), это скорость движения гребней или впадин волны. Для невидимых для глаза волн это скорость периодических изменений физических параметров в пространстве, которые регистрируются с помощью приборов, например датчиков давления звуковых волн.

Опыт и теория показывают, что скорости разных типов волн зависят от свойств среды, в которой они распространяются. Продемонстрируем это на примерах волн в струнах, воздухе, упругом материале, мелкой воде и вакууме. Но прежде чем рассматривать конкретные примеры, напомним одно важное обстоятельство. При прохождении звуковой волны в воздухе частицы газа совершают периодические колебания относительно положения равновесия в направлении распространения волны. Частота этих колебаний определяется инерцией — объёмной плотностью воздуха и давлением — объёмной упругостью воздуха. Таким образом, имеется два параметра: один, содержащий размерность массы, другой, содержащий размерность силы, играющей важную роль в передаче импульса и энергии в волнах. Подобная ситуация имеет место для всех волновых процессов, происходящих в какой-либо среде. Эту особенность будем использовать дальше при выборе определяющих параметров в методе размерностей.

Скорость волн в упруго натянутой струне

С учётом сделанного пояснения будем искать скорость волн в упруго натянутой струне с использованием силы натяжения $F$‍,‍ массы струны $m$‍‍ и её длины $l$‍‍ в качестве определяющих параметров. Сила натяжения является очевидным определяющим параметром. Все, кто держал струнные инструменты в руках, знают это. Ввод длины тоже достаточно очевиден, так как она является характерным параметром, отличающим одну струну от другой. В итоге имеем $$ v=(F)^\alpha\,(m)^\beta\,(l)^\gamma, $$ а в размерных переменных — $$ \dfrac{\text{м}}{\text{с}}=\left(\dfrac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}^2} \right)^\alpha(\text{кг})^\beta\,(\text{м})^\gamma. $$ Решая это уравнение относительно $\alpha$‍,‍ $\beta$‍‍ и $\gamma$‍,‍ найдём $$ \alpha=\dfrac12,\quad\beta=-\dfrac12,\quad\gamma=\dfrac12. $$ Отсюда $$ v=\sqrt{\dfrac{Fl}m}=\sqrt{\dfrac F\eta}=\sqrt{\dfrac F{\rho S}}. $$ Здесь $\eta$‍‍ — линейная плотность материала струны, равная $\rho S$‍,‍ где $\rho$‍‍ — объёмная плотность, $S$‍‍ — площадь сечения струны.

Найденная формула для $v$‍‍ в точности совпадает с формулой для скорости волн в струне, полученной с помощью точной теории. Сделаем оценку скорости волны в струне из стали с диаметром $1~\text{мм}^2$‍‍ (басовая струна) и плотностью $7{,}8\cdot10^3~\text{кг}/\text{м}^3$‍.‍ Силу натяжения зададим равной 100 Н, используя справочные данные. В результате получим: $v=113~\text{м/с}$‍.‍ Зная скорость волны можно определить основную частоту звука по формуле $\nu=\dfrac{2v}l$‍.‍ Для длины струны $l=0{,}65~\text{м}$‍‍ получим частоту $\nu\approx348~\text{Гц}$‍.‍ Отметим, что формулу для о можно использовать и для определения натяжения струны по основной частоте её звучания.

Примечательной особенностью волн в струне является то, что элементы струны совершают колебательное движение перпендикулярно направлению распространения волны, которое совпадает с направлением спокойной струны. По этой причине волны в струне называются поперечными. Другой особенностью волн в струне являются очень малые дополнительные волновые деформации струны. Эта особенность обусловлена сильным первоначальным натяжением струны, которая во много раз превышает дополнительную волновую деформацию.

Скорость волн в газах

Мерой упругости в газах является давление. С учётом этого будем искать скорость волн в газах как функцию давления $p$‍‍ и объёмной плотности $\rho$‍.‍ В размерном виде эта зависимость может быть записана так: $$ \dfrac{\text{м}}{\text{с}}=\left(\dfrac{\text{кг}}{\text{м}\cdot\text{с}^2} \right)^\alpha\left(\dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}\right)^\beta, $$ откуда находим $$ \alpha=\dfrac12,\quad\beta=-\dfrac12\quad\text{и}\quad v=\sqrt{\dfrac p\rho}. $$

Воспользуемся объединённым законом газового состояния для численных оценок скорости волн в газе: $p=\dfrac{\rho RT}M$‍,‍ где $R$‍‍ — универсальная газовая постоянная, $T$‍‍ — температура, $M$‍‍ — молярная масса, и получим $$ v=\sqrt{\dfrac{RT}M}. $$

Сделаем оценку скорости волны по этой формуле для воздуха при нормальных условиях: $$ v=\sqrt{\dfrac{8{,}31\cdot300}{29\cdot10^{-3}}}~\text{м/с}\approx 293~\text{м/с}. $$ Это значение с приемлемой точностью совпадает со скоростью звука при нормальных условиях, равной 330 м/с.

Отметим, что полученная нами формула для $v$‍‍ отличается от точного выражения множителем $\gamma$‍‍ — постоянной адиабаты под знаком корня, равной 1,4 для двухатомных газов. Это также говорит об успешности размерного подхода для нахождения скорости звуковых волн. Также обратим внимание на то, что скорость звука почти равна по модулю средней скорости теплового движения молекул. Со средней скоростью движения молекул (и атомов) и происходит передача импульса при умеренных воздействиях на газ.

Как уже отмечалось, в звуковых волнах частицы газа совершают колебательное движение в направлении распространения волн. По этой причине эти волны называются продольными. При продольном движении частиц газа в одних точках пространства концентрация и давление газа возрастают, в других — падают. В результате этого при распространении волны в газе периодически меняются давление, плотность и температура, причём последняя меняется по адиабатическому закону в соответствии с изменением давления.

Скорость поверхностных волн на воде

Колебания частиц воды при прохождении волн связаны с действием двух причин: силы гравитации и объёмной плотности $\rho$‍.‍ Действие силы гравитации формирует давление в столбе жидкости на разных глубинах, которое определяет характер волновых течений на этих глубинах. Давление столба жидкости, как известно, определяется соотношением $p=\rho gh$‍,‍ где $h$‍‍ — глубина. Ero и следует выбрать в качестве управляющего параметра. В итоге у нас есть два основных параметра: $p$‍‍ и $\rho$‍,‍ как и в случае волн в газе. Поэтому для определения скорости волн в воде воспользуемся полученной ранее формулой для скорости волн в газе: $$ v=\sqrt{\dfrac p\rho}. $$ Подставляя в эту формулу $p=\rho gh$‍,‍ находим, что скорость волн в воде должна равняться $$ v=\sqrt{gh}. $$

Таким образом, в случае мелкой воды выражение для скорости волны, полученное на основе метода размерностей, в точности совпадает с теоретической формулой. Для случая же глубокой воды, когда $\lambda\ll h$‍,‍ $$ v=\sqrt{\dfrac{g\lambda}{2\pi}}. $$ Столь разная зависимость скорости волн от глубины объясняется просто. Из-за большой инертности водной толщи только поверхностные слои воды участвуют в колебательном движении. При этом частицы приповерхностного слоя воды двигаются по круговым траекториям. На одной части траектории частицы поднимаются вверх, а на другой опускаются вниз. В результате этого образуются горбы и впадины волн.

Описанная кинематика частиц воды поверхностных волн оказывается совершенно иной для цунами, генерируемых мощными подводными землетрясениями или извержениями вулканов. При распространении цунами в волновое движение увлекается практически вся толща воды, что делает движение частиц воды более сложным.

Сделаем на основе полученной формулы для о оценки скорости волны для морских пляжей, моря и океана. Пусть вначале $h=2~\text{м}$‍.‍ Это обычная глубина пляжной зоны. Для такой глубины длина волны, как правило, заметно больше глубины. Поэтому работает формула $v=\sqrt{gh}$‍,‍ из которой следует, что $v=4{,}4~\text{м/с}$‍.‍ Выберем теперь $h=4000~\text{м}$‍.‍ Для этой глубины возможны два варианта.

Первый вариант связан с цунами. Длина волны цунами может достигать нескольких сотен километров. При такой длине даже на больших глубинах скорость волны вновь можно рассчитывать по формуле мелкой воды $v=\sqrt{2gh}$‍‍‚ так как $h\ll\lambda$‍.‍ Так, для $h=4000~\text{м}$‍‍ скорость волны будет равна $200~\text{м/с}$‍.‍ Такой величины скорости цунами реально регистрируются в океане в случае мощных глубоководных землетрясений.

Второй вариант связан с поверхностными волнами, длина которых значительно меньше глубины. В этом случае скорость волны определяется формулой $v=\sqrt{\dfrac{g\lambda}{2\pi}}$‍.‍ Как следует из этой формулы, даже для достаточно длинных волн с длиной волны порядка 200 м скорость волны составляет всего 17 м/с.

Скорость волн в упругой среде

В упругой среде мерой инерции является объёмная плотность материала среды $\rho$‍,‍ а мерой упругости — модуль упругости Юнга $E$‍.‍ Выберем эти два параметра для определения скорости упругих волн в упругой среде. В результате получим $$ \begin{gathered} v=(\rho)^\alpha\,(E)^\beta,\\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}}=\left(\dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}\right)^\alpha \left(\dfrac{\text{кг}}{\text{м}\cdot\text{с}^2}\right)^\beta. \end{gathered} $$ Отсюда находим $$ v=\sqrt{\dfrac E\rho}. $$

Нами получена точная формула для расчёта скорости волн в упругой среде, при распространении которых происходят деформации и смещения слоёв среды относительно друг друга. Оценим скорость сейсмических волн, которые возникают при землетрясениях. Считая, что земная кора состоит из кремнезёма с $E=100~\text{ГПа}$‍‍ и $\rho=2650~\text{кг/м}^2$‍,‍ находим $v=6{,}2~\text{км/с}$‍.‍ Это достаточно большая скорость. При такой скорости сейсмические волны могут пройти от очага землетрясения до противоположной точки земной поверхности за 33 мин и дать знать о себе. Эта особенность сейсмических волн положена в основу регистрации землетрясений, а также мощных подземных ядерных взрывов.

При распространении упругих волн происходят три типа деформаций: растяжения, сжатия и сдвига. Два первых типа деформации имеют место в упругих продольных волнах. В продольных волнах упругой среды частицы вещества прижимаются друг к другу, что приводит к увеличению давления, или расходятся друг относительно друга, что приводит к уменьшению давления. В случае сдвиговых деформаций частицы среды сдвигаются друг относительно друга в разных плоскостях. Подобная ситуация имеет место при прохождении поперечных упругих волн.

Скорости внутренних гравитационных волн

Сразу скажем, что дальше речь будет не о гравитационных волнах, порождаемых сверхмассивными гравитационными телами: нейтронными звёздами и чёрными дырами, а о волновых движениях столба воздуха атмосферы. Как и в случае волн на воде, внутренние гравитационные волны представляют собой волны, в которых периодически меняется высота столба воздуха из-за действия сил гравитации и упругости воздуха. Это может происходить из-за смещения элементарного объёма воздуха вверх или вниз. Результатом этого являются пульсации атмосферного давления, которые можно измерять точными приборами.

Внутренние волны в атмосфере по своей физике подобны волнам в воде. Поэтому в качестве управляющих параметров данной задачи зададим ускорение свободного падения $g$‍‍ и высоту однородной атмосферы $H$‍‍ (по сути, неоднородную по высоте атмосферу мы заменяем однородной). Параметр $H$‍‍ определяет высоту атмосферы, на которой давление воздуха $p$‍‍ падает в $e$‍‍ раз: $$ p=p_0e^{-\tfrac hH}, $$ где $p_0$‍‍ — давление на поверхности Земли, $h$‍‍ — высота, $H=\dfrac{RT}{\mathrm{M}g}$‍‍ — однородная высота атмосферы, $R$‍‍ — газовая постоянная, $T$‍‍ — температура, M — молярная масса воздуха. Поскольку определяющие параметры данной задачи эквивалентны определяющим параметрам предыдущей задачи, воспользуемся полученной там формулой для определения скорости внутренних гравитационных волн. В результате имеем $$ v=\sqrt{gH}. $$ Пользуясь этой формулой, найдём скорость, задав высоту однородной атмосферы $H=8{,}5~\text{км}$‍:‍ $$ v=\sqrt{9{,}8\cdot8{,}5\cdot10^3}~\text{м/с}\approx290~\text{м/с}. $$ Как видно, внутренние гравитационные волны имеют ту же скорость, что и звуковые волны при нормальных условиях. Они могут генерироваться во время сильных магнитных бурь, землетрясений, извержений вулканов и ядерных взрывов.

Скорость электромагнитных волн

Диэлектрическая проницаемость $\varepsilon_0$‍‍ и магнитная проницаемость $\mu_0$‍‍ являются фундаментальными характеристиками физического вакуума. Размерности этих величин таковы: $$ [\varepsilon_0]=\dfrac{\text{Кл}^2\cdot\text{с}^2}{\text{кг}\cdot\text{м}^3}, \quad[\mu_0]=\dfrac{\text{Гн}}{\text{м}}=\dfrac{\text{Н}}{\text{А}^2}= \dfrac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}^2\cdot\text{Кл}^2}. $$ Из них легко получить величину с размерностью скорости: $$ v=\dfrac1{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}. $$ Подставим сюда численные значения $\varepsilon_0=0{,}885\cdot10^{-11}~\text{Ф/м}$‍‍ и $\mu_0=1{,}256\cdot10^{-6}~\text{Гн/м}$‍‍ и найдём, что $v=2{,}9979\cdot10^8~\text{м/с}$‍.‍ Это скорость света $c$‍‍ в вакууме. Великий физик Джеймс Максвелл был первым, кто обнаружил связь скорости света $c$‍‍ двумя фундаментальными характеристиками вакуума. Но сделал он это не на основе метода размерностей, а на основе электромагнитной теории, которую создал. Удивительно, что никто до Максвелла не увидел связи между величинами $\varepsilon_0$‍,‍ $\mu_0$‍‍ и скоростью света $c$‍.‍

Электромагнитные волны в вакууме являются поперечными. Векторы напряжённости электрического поля $\overrightarrow{E}$‍‍ и индукции магнитного поля $\overrightarrow{B}$‍‍ электромагнитной волны лежат в плоскости, перпендикулярной скорости распространения волны, и взаимно перпендикулярны друг другу. Важной характеристикой электромагнитной волны является плотность потока энергии электромагнитного поля — энергия, переносимая через единичную площадь, нормальную к ней, в единицу времени. Плотность потока энергии имеет размерность $\text{Вт/м}^2$‍.‍ Согласно теории электромагнетизма Максвелла, эта величина равна произведению векторов $\overrightarrow{E}$‍‍ и $\overrightarrow{B}$‍.‍

Как показывают эксперимент и теория, при распространении электромагнитных волн в среде их скорость сильно зависит от свойств среды. В диэлектриках скорость электромагнитных волн равна $v=\dfrac cn$‍,‍ где $n=\dfrac1{\sqrt\varepsilon}$‍‍ — показатель преломления диэлектрика, $\varepsilon$‍‍ — диэлектрическая проницаемость диэлектрика. В плазменной проводящей среде, состоящей из электронов и ионов, возможны ситуации, когда на одних частотах электромагнитные волны могут распространяться в среде, а на других — нет. Если частота ниже плазменной, или критической, частоты, волна отражается. В противоположном случае волна распространяется. Как показывает теория, критическая частота $\nu_{\text{кр}}$‍‍ зависит от концентрации свободных электронов $n$‍,‍ заряда $e$‍‍ и массы $m_e$‍‍ электронов.

Найдём функциональную связь критической частоты с названными параметрами и диэлектрической постоянной вакуума $\varepsilon_0$‍,‍ пользуясь методом размерностей. Диэлектрическую постоянную вакуума пришлось добавить как универсальную постоянную, содержащую кулон — единицу измерения заряда электрона. Выбор параметров электрона связан с его малой инерцией и высокой чувствительностью к действию электрического поля. В результате имеем $$ \begin{gathered} \nu_{\text{кр}}=(n)^\alpha\,(e)^\beta\,(\varepsilon_0)^\gamma\, (m_e)^\varphi,\\ \dfrac1{\text{с}}=\left(\dfrac1{\text{м}^3}\right)^\alpha(\text{Кл})^\beta \left(\dfrac{\text{Кл}^2\cdot\text{с}^2}{\text{кг}\cdot\text{м}^3}\right)^ \gamma(кг)^\varphi,\\ -1=2\gamma,\quad2\gamma+\beta=0,\quad-3\alpha-3\gamma=0,\quad -\gamma+\varphi=0,\\ \alpha=\dfrac12,\quad\beta=1,\quad\gamma=-\dfrac12,\quad\varphi=-\dfrac12. \end{gathered} $$ С учётом найденных значений $\alpha$‍,‍ $\beta$‍,‍ $\gamma$‍‍ и $\varphi$‍‍ критическая частота равна $$ \nu_{\text{кр}}=\sqrt{\dfrac{ne^2}{\varepsilon_0m_e}}. $$

Полученное нами соотношение в $2\pi$‍‍ раз меньше точного значения, полученного на основании теоретического рассмотрения. Это большое расхождение, которое лишний раз указывает на принципиальный недостаток метода размерностей, связанный с нахождением только функциональных соотношений. Правда, этот недостаток компенсирует верное функциональное соотношение, которое хорошо подходит для оценок относительных величин. Проведём оценку критической частоты электромагнитных волн для случая ионосферной плазмы по полученной нами формуле с учётом множителя $\dfrac1{2\pi}$‍.‍ В качестве примера найдём критическую частоту для ионосферной плазмы, определяющей характер распространения КВ-радиоволн в околоземном пространстве. Пользуясь справочником, зададим концентрацию плазмы ионосферы $n=10^{12}~\text{м}^{-3}$‍.‍ Подставляя это значение концентрации в формулу для $\nu_{\text{кр}}$‍,‍ с учётом поправки $\dfrac1{2\pi}$‍‍ получим $$ \nu_{\text{кр}}=\dfrac1{6{,}28}\sqrt{\dfrac{10^{12}\cdot1{,}6^2\cdot10^{-38}} {0{,}885\cdot10^{-11}\cdot0{,}9\cdot10^{-30}}}~\text{Гц}=9{,}2~\text{МГц}. $$ КВ-радиоволны с меньшей частотой не могут проникнуть в ионосферную плазму и отражаются от неё.

Плазменная, или критическая, частота определяет не только характер прохождения электромагнитных волн через плазменную среду, но и её скорость. Для таких сред скорость электромагнитных волн равна $$ v=c\sqrt{1-\dfrac{\nu_{\text{кр}}^2}{\nu^2}}. $$ Как видно из этой формулы, скорость электромагнитных волн тем ближе к скорости света, чем больше частота электромагнитных волн плазменной частоты.

---

Наш разговор о волнах будет неполным, если мы обойдём вниманием вопрос о характерных частотах и длинах волн. Названные параметры волны связаны со скоростью волны соотношением $$ \lambda=\dfrac v\nu, $$ где $\nu=\dfrac1T$‍‍ — частота, $T$‍‍ — период колебаний волны. При рассмотрении взаимосвязи длины волны с частотой естественно возникает вопрос, какую из этих двух физических величин можно назвать первичной. Ответ на этот вопрос дают наблюдения. Согласно им, колебания и волны возникают тогда, когда имеется периодический или импульсный источник их генерации. В этом легко убедиться, поставив простой опыт с водой, налитой в небольшую ванночку. Волн в ванночке не будет, пока поверхность воды остаётся спокойной. Но если в воду погрузить небольшое тело и заставить его совершать колебательные движения, волны появятся. Если погружение будет разовым, первоначальная волна быстро пропадёт. Если погружения будут периодическими, волны будут распространяться непрерывно, причём периодические изменения профиля поверхности воды будут происходить синхронно с погружением и поднятием тела. Это означает, что волна имеет тот же период колебаний, что и погружаемое тело. Подобная ситуация имеет место не только для поверхностных волн, но и для волн другой природы. Так, переменный ток в штырьковой антенне возбуждает электромагнитные волны на той же частоте, на которой он меняется. Из сказанного следует, что длина волны соответственно определяется частотой действия источника волны. Следуя этому выводу, рассмотрим процесс генерации звуковых волн гортанью человека.

В гортани располагаются голосовые связки, которые имеют размеры 12‍—‍24 мм и толщину 3‍—‍5 мм и могут колебаться с частотой от 80 до 300 Гц. Эти колебания генерируют звуковые волны на указанных частотах, причём частота выше, когда связки напряжены сильнее. Звуковые волны более высоких частот 300‍—‍1000 Гц возбуждаются в резонирующих полостях (горло, полость рта и носа) при прохождении через них воздуха (так же генерируется звук в духовых инструментах). Эти резонирующие полости усиливают звук на определённых частотах за счёт акустического резонанса. Таким образом, с помощью комбинированного действия голосовых связок и акустического резонанса в горле генерируются звуковые волны человеческого голоса достаточно широкого спектра.

Оценим длину волны человеческого голоса на низких и высоких частотах. Для частоты 200 Гц длина волны $$ \lambda=\dfrac{330~\dfrac{\text{м}}{\text{с}}}{200~\dfrac1{\text{с}}}= 1{,}65~\text{м}, $$ для частоты 1000 Гц $$ \lambda=0{,}33~\text{м}. $$ Как видим, длины низких звуковых волн значительно больше размеров голосовых связок — источников звука. Ещё большее различие между размерами излучателя и длиной волны имеет место в атомной физике. Самая длинная волна в серии Бальмера атома водорода, равная 656,3 нм, значительно больше размеров излучающего атома, равного приблизительно 0,1 нм. В этом проявляется специфика квантовых процессов, царящих в микромире.