Мукушев Б. А.

Решение физических задач с помощью метода индукцииМукушев Б. А. Решение физических задач с помощью метода индукции // Квант. — 2025. — № 8. — С. 40‍—‍43.‍‍

В научном и учебном познании окружающего мира широко используется метод, основанный на индуктивных рассуждениях. Этот метод называется методом индукции и относится к общенаучным методам исследования. Термин «индукция» (лат. inductio) означает «наведение», а индуктивными называют выводы, сделанные на основе наблюдений и опытов, т. е. полученные путём рассмотрения частных случаев и последующего распространения замеченных закономерностей на общий случай. Роль метода индукции особенно значительна в экспериментальной физике. Однако метод индукции оказывается полезным и при решении некоторых учебных физических задач. С помощью индуктивного рассуждения устанавливается некая закономерность или формула на основе обобщения результатов трёх или более частных случаев.

Вот некоторые задачи, при решении которых индукция выступает как эвристический приём их решения. Не исключено, что эти задачи имеют и другие способы решения.

Задача 1. Наблюдатель, стоявший в момент начала движения электропоезда у его переднего края, заметил, что первый вагон прошёл мимо него за $t_1=4~\textit{с}$‍.‍ Сколько времени будет двигаться мимо него десятый вагон? Движение считать равноускоренным.

Длина первого вагона $L=\dfrac{at_1^2}2$‍,‍ а второго вагона $L=v_1t_2+\dfrac{at_2^2}2$‍,‍ где $v_1=at_1$‍.‍ Здесь $v_1$‍‍ — скорость переднего края второго вагона, когда он проходит мимо наблюдателя, $t_2$‍‍ — время, за которое второй вагон пройдёт мимо наблюдателя. Очевидно, что $$ \dfrac{at_1^2}2=a_1t_2+\dfrac{at_2^2}2\quad\text{и}\quad t_1=t_1(\sqrt2-\sqrt1). $$ Для третьего вагона $L=v_2t_3+\dfrac{at_3^2}2$‍,‍ где $v_2=v_1+at_2=a(t_1+t_2)$‍.‍ Следовательно, $$ t_3^2+2(t_1+t_2)t_3-t_1^2=0,\quad t_3=t_1(\sqrt3-\sqrt2). $$ Для четвёртого вагона получим $$ t_4=t_1(\sqrt4-\sqrt3). $$ На основе индуктивного рассуждения из выражений для $t_1$‍,‍ $t_2$‍,‍ $t_3$‍‍ и $t_4$‍‍ находим для $t_n$‍,‍ следующую закономерность: $$ t_n=t_1(\sqrt{n\vphantom1}-\sqrt{n-1}). $$ Значит, $$ t_{10}=4(\sqrt{10}-\sqrt9)~\text{с}=0{,}65~\text{с}. $$

Задача 2. Небольшое упругое тело скользит со скоростью $v_0=10~\textit{м/с}$‍‍ по горизонтальной плоскости, приближаясь к щели (рис. 1). Щель образована двумя отвесными параллельными стенками, находящимися на расстоянии $d=5~\textit{см}$‍‍ друг от друга. Глубина щели $H=1~\textit{м}$‍.‍ Определите, сколько раз ударится тело о стенки, прежде чем упадёт на дно. Удары о стенки абсолютно упругие. Считайте, что $g=9{,}8~\textit{м/с}^2$‍.‍

При упругих ударах о стенки щели угол отражения равен углу падения, а время полёта тела между стенками $t$‍‍ постоянно и равно $$ t=\dfrac d{v_0}. $$ Первый удар произойдёт на глубине $$ h_1=v_1t+\dfrac{gt^2}2, $$ второй — на глубине $$ h_2=v_2t+\dfrac{gt^2}2, $$ от точки первого удара, третий — на глубине $$ h_3=v_3t+\dfrac{gt^2}2, $$ от точки второго удара и т. д. На основе индуктивного рассуждения напишем следующие значения вертикальных составляющих скорости тела: $$ v_1=0,\quad v_2=gt,\quad v_3=2gt,\quad\ldots,\quad v_n=(n-1)gt, $$ где $n$‍‍ — номер удара. Очевидно, что $$ h_1+h_2+\ldots+h_n=H,\quad\text{или}\quad (v_1+v_2+\ldots+v_n)t+n\dfrac{gt^2}2=H. $$ Далее последовательно имеем $$ \begin{gather*} (g+2gt+3gt+\ldots+(n-1)gt)t+n\dfrac{gt^2}2=H,\\ gt^2(1+2+3+\ldots+(n-1))+n\dfrac{gt^2}2=H,\\ \dfrac{gt^2}2n(n-1)+n\dfrac{gt^2}2=H. \end{gather*} $$ Отсюда получаем $$ n=\sqrt{\dfrac{2H}{gt^2}}=\dfrac{v_0}d\sqrt{\dfrac{2H}g}\approx90{,}3. $$ Так как число ударов натуральное число, то $n=90$‍.‍ Тело ударится о стенки щели 90 раз.

Задача 3. Мяч свободно падает с высоты $h=0{,}1~\textit{м}$‍‍ на наклонную доску, составляющую угол $\alpha=30^\circ$‍‍ с горизонтом. Мяч, подпрыгивая, перемещается по доске (рис. 2). Найдите расстояние между точками девятого и десятого удара мяча о доску. Соударения мяча с доской абсолютно упругие.

Найдём расстояния между точками первого и второго ($L_{1,2}$‍),‍ второго и третьего ($L_{2,3}$‍),‍ третьего и четвёртого ($L_{3,4}$‍)‍ удара. Для удобства оси координат направим вдоль доски и перпендикулярно к ней (рис. 3). В этом случае проекции ускорения мяча на оси $x$‍‍ и $y$‍‍ будут соответственно равны $$ a_x=g_x=g\sin\alpha\quad\text{и}\quad a_y=g_y=-g\cos\alpha. $$

Скорость мяча в момент первого соударения с доской равна $v_0=\sqrt{2gh}$‍.‍ Начальная скорость мяча после первого соударения равна $v_0$‍‍ и образует с осью $y$‍‍ угол $\alpha$‍,‍ а проекции скорости мяча равны $$ v_{0x}=v_0\sin\alpha\quad\text{и}\quad v_{0y}=v_0\cos\alpha. $$ Расстояние между точками первого и второго соударения мяча с доской равно $$ L_{1,2}=(v_0\sin\alpha)t_1+\dfrac{(g\sin\alpha)t_1^2}2, $$ где $t_1$‍‍ — время полёта мяча. Это время определяется уравнением $$ (v_0\cos\alpha)t_1-\dfrac{(g\cos\alpha)t_1^2}2=0. $$ Отсюда $$ t_1=\dfrac{2v_0}g\quad\text{и}\quad L_{1,2}=8h\sin\alpha. $$ Скорость мяча к моменту второго соударения определяется равенствами $$ \begin{gather*} v_{1x}=v_{0x}+a_xt_1=v_0\sin\alpha+(g\sin\alpha)t_1=3v_0\sin\alpha,\\ v_{1y}=v_{0y}+a_yt_1=v_0\cos\alpha-(g\cos\alpha)t_1=-v_0\cos\alpha. \end{gather*} $$ После второго соударения эти скорости равны $$ v_{2x}=v_{1x},\quad v_{2y}=-v_{1y}=v_0\cos\alpha=v_{0y}. $$ Расстояние между точками второго и третьего соударения равно $$ L_{2,3}=(3v_0\sin\alpha)t_2+\dfrac{(g\sin\alpha)t_2^2}2, $$ где $t_2$‍‍ — время полёта. Так как начальная скорость вдоль оси $y$‍‍ та же, что и при первом соударении, то $t_2=t_1$‍.‍ Поэтому $$ L_{2,3}=16h\sin\alpha. $$ Аналогично можно показать, что $$ L_{3,4}=24h\sin\alpha. $$ Опираясь на метод индукции, запишем $$ L_{n,n+1}=8nh\sin\alpha. $$ Следовательно, $$ L_{9,10}=8\cdot9\cdot0{,}1\cdot\sin30^\circ~\text{м}=3{,}6~\text{м}. $$

Задача 4. Найдите положение центра масс невесомого стержня с насаженными на него $100$‍‍ шарами (рис. 4). Расстояние между центрами шаров $d=10~\textit{см}$‍,‍ массы шаров образуют арифметическую прогрессию $1$‍,‍ $2$‍,‍ $3$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $100~\textit{кг}$‍.‍

Рассмотрим сначала два шара с массами 1 кг и 2 кг. Центр масс такой системы находится на расстоянии двух третей длины стержня, считая от его лёгкого конца: $$ L_2=\dfrac23d. $$ Далее вычислим положение центра масс для трёх шаров с массами 1 кг, 2 кг и 3 кг: $$ L_3=\dfrac43d; $$ и для четырёх шаров с массами 1 кг, 2 кг, 3 кг и 4 кг: $$ L_4=\dfrac63d. $$ На основе метода индукции для $n$‍‍ шаров запишем положение центра масс стержня в общем виде: $$ L_n=\dfrac{2(n-1)}3d. $$ Следовательно, положение центра масс невесомого стержня с насаженными на него 100 шарами находится в точке с координатой $$ L_{100}=\dfrac{2\cdot99}\cdot10~\text{см}=660~\text{см}. $$

Задача 5. Поршневой насос при каждом качании захватывает объём $V_0$‍‍ воздуха (рис. 5). Когда поршень начинает движение слева направо, открывается клапан $a$‍‍ и часть массы воздуха оказывается в цилиндре поршня. При движении справа налево закрывается клапан $a$‍‍ и открывается клапан $b$‍,‍ через который газ и покидает систему. При откачке этим насосом воздуха из сосуда объёмом $V$‍‍ насос совершил $n$‍‍ качаний. Найдите установившееся давление в сосуде. Начальное давление внутри сосуда $p_0$‍.‍ Процесс изотермический.

После одного качания давление в сосуде станет равным $$ p_1=\dfrac{p_0V}{V+V_0}, $$ после второго качания $$ p_1V=p_2(V+V_0) $$ и, следовательно, $$ p_2=\dfrac{p_0V}{(V+V_0)^2}, $$ после третьего давление будет $$ p_3=\dfrac{p_0V}{(V+V_0)^3}. $$ После $n$‍‍ качаний давление в сосуде станет $$ p_n=\dfrac{p_0V}{(V+V_0)^n}. $$

Задача 6. Имеются $20$‍‍ клемм, каждая из них соединена со всеми остальными клеммами через одинаковые резисторы, сопротивление которых равно $10~\textit{Ом}$‍.‍ Найдите сопротивление между любыми двумя клеммами.

Вначале берём две клеммы, т. е. $n=2$‍‍ (рис. 6, a). Сопротивление между ними $$ R_2=R. $$ Затем берём три клеммы (рис. 6, б). Сопротивление между клеммами 1 и 2 равно $$ R_3=\dfrac{2R}3. $$ Берём четыре клеммы (рис. 6, в). Подключим источник тока к клеммам 1 и 2. Поскольку в точках 3 и 4 потенциалы одинаковы, через резистор, соединяющий эти клеммы, ток не идёт. Следовательно, можно его убрать. Таким образом, $$ R_4=\dfrac R2=\dfrac{2R}4. $$ Обобщая результаты $$ R_2=\dfrac{2R}2,\quad R_3=\dfrac{2R}3,\quad R_4=\dfrac{2R}4, $$ находим общую формулу для сопротивления между любыми двумя клеммами: $$ R_n=\dfrac{2R}n\quad(n\gt2). $$ Итак, $$ R_{20}=\dfrac{2\cdot10}{20}~\text{Ом}=1~\text{Ом}. $$

Задача 7. Конденсатор ёмкостью $C_0=20~\textit{мкФ}$‍‍ заряжают до разности потенциалов $U_0=400~\textit{В}$‍‍ и подключают к конденсатору ёмкостью $C=1~\textit{мкФ}$‍,‍ в результате чего последний заряжается. Отключив этот конденсатор, заряжают таким же образом второй конденсатор той же ёмкости ($С=1~\textit{мкФ}$‍),‍ третий и т. д. Затем конденсаторы соединяют последовательно. Какую максимальную разность потенциалов можно получить таким образом?

Начальный заряд исходного конденсатора $q_0=C_0U_0$‍.‍ После подключения к нему первого конденсатора заряд $q_0$‍‍ распределится между конденсаторами ёмкостями $C_0$‍‍ и $C$‍.‍ После разъединения на обоих конденсаторах установится разность потенциалов $$ U_1=\dfrac{q_0}{C_0+C}=\dfrac{C_0U_0}{C_0+C}. $$ Оставшийся заряд на конденсаторе ёмкостью $C_0$‍‍ равен $$ q_1=C_0U_1=\dfrac{C_0^2U_0}{C_0+C}. $$ При зарядке второго конденсатора напряжение на обоих конденсаторах (ёмкостями $C_0$‍‍ и $C$‍)‍ становится равным $$ U_2=\dfrac{q_1}{C_0+C}=U_0\left(\dfrac{C_0}{C_0+C}\right)^2, $$ а после подключения третьего конденсатора — $$ U_3=U_0\left(\dfrac{C_0}{C_0+C}\right)^3. $$ Очевидно, $$ U_n=U_0\left(\dfrac{C_0}{C_0+C}\right)^n. $$ Далее запишем формулу максимальной разности потенциалов в виде бесконечного числового ряда, образованного членами убывающей геометрической прогрессии: $$ \begin{gather*} U=U_1+U_2+U_3+\ldots+U_n=\\ =U_0\left(\dfrac{C_0}{C_0+C}+\left(\dfrac{C_0}{C_0+C}\right)^2+ \left(\dfrac{C_0}{C_0+C}\right)^3+\ldots+\left(\dfrac{C_0}{C_0+C}\right)^n \right). \end{gather*} $$ Просуммировав эту геометрическую прогрессию, получим $$ U=\dfrac{C_0U_0}C=8000~\text{В}. $$

Задача 8. Интенсивность звука (шума) за стеной составляет $10~\textit{Вт/м}^2$‍‍ (порог болевого ощущения). Стена сооружена из звукопоглощающего материала. Какой должна быть толщина стены, чтобы в помещении сохранилась допустимая норма интенсивности звука $10^{-10}~\textit{Вт/м}^2$‍,‍ если интенсивность звука через каждый $1~\textit{мм}$‍‍ материала убывает на $10$‍‍%?

Мысленно разделим стену на слои толщиной 1 мм. После прохождения первого слоя интенсивность звука составляет $$ I_1=I_0(1-\beta), $$ где $I_0=10~\text{Вт/м}^2$‍,‍ $\beta=0{,}1$‍.‍ Аналогично, после прохождения второго слоя $$ I_2=I_1(1-\beta)=I_0(1-\beta)^2, $$ после прохождения третьего слоя $$ I_3=I_2(1-\beta)=I_0(1-\beta)^3. $$ Тогда для $n$‍‍-го слоя $$ I_n=I_0(1-\beta)^n. $$ Отсюда $$ n=\dfrac{\lg\dfrac{I_n}{I_0}}{\lg(1-\beta)}=\dfrac{\lg10^{-11}}{\lg(1-0{,}1)} \approx240. $$ Таким образом, искомая толщина стены равна 240 мм.

Упражнения

1. За какое время тело, свободно падающее без начальной скорости, проходит десятый метр своего пути?
2. Имеется электрическая цепь, содержащая 10 контактов. Каждая пара этих контактов соединена через конденсатор электроёмкостью 10 мкФ. Какая электроёмкость будет обнаружена при измерении между двумя любыми контактами?