Стасенко А. Л.

Размышления на тарзанкеСтасенко А. Л. Размышления на тарзанке // Квант. — 2025. — № 10. — С. 34‍—‍35.‍‍

Кому же в жаркий день неохота прыгнуть в прохладную реку с высокого обрыва, желательно подальше от берега! Как не воспользоваться для этого так называемой тарзанкой — верёвкой (тросом) с перекладиной, на которой можно раскачиваться или прыгать с неё.

На рисунке 1 изображена одна из возможных схем: $O$‍‍ — неподвижная точка подвеса, $l$‍‍ — его длина, $m$‍‍ — масса прыгуна, размером которого (не в обиду будь сказано) пренебрегается; $x$‍,‍ $y$‍‍ — декартова система координат, $l$‍,‍ $\varphi$‍‍ — полярная (радиус фиксирован и равен $l$‍).‍ Введём также линейную (окружную) скорость тела $l\varphi'$‍,‍ $\varphi'=\dfrac{d\varphi}{dt}$‍,‍ и высоту берега $h$‍.‍

Рисунок 1

Отправимся из точки $\varphi=0$‍‍ (или $x=-l$‍,‍ $y=0$‍),‍ в которой скорость, а следовательно, и кинетическая энергия тела равны нулю. Примем, что на уровне $y=0$‍‍ его потенциальная энергия тоже равна нулю. Следовательно, в пренебрежении работой силы сопротивления воздуха сумма энергий должна быть равной нулю в любой точке траектории движущегося тела $0\le\varphi\le\pi$‍‍ $$ \dfrac12 m (l\varphi')^2+ (-mgl\sin\varphi)=0. $$ Здесь второе слагаемое описывает убыль потенциальной энергии при смещении тела на расстояние $l\sin\varphi$‍‍ (штриховой отрезок на рисунке 1). Обозначив $\dfrac gl=\omega_0^2$‍,‍ получим уравнение $$ \dfrac{\varphi'}{\sqrt{2}\omega_0}=\sqrt{\sin\varphi}. $$ Эта зависимость скорости от координаты — так называемая фазовая траектория — изображена на рисунке 2 синим цветом.

Возможны варианты. Например, прибыв в точку $\varphi=\pi$‍,‍ наш герой может оставить подвес и, начав свободное вертикальное падение, достичь желаемой поверхности $y=-h$‍‍ в момент времени после начала путешествия $$ t_1=\dfrac T2+\sqrt{\dfrac{2h}g} $$ на расстоянии $x_1=2l$‍‍ от нaчальной абсциссы $x_0=-l$‍.‍ Здесь $T$‍‍ — период негармонического колебания, завершающегося возвращением в исходное положение (нижняя часть синей кривой на рисунке 2).

Рисунок 2

Но он может избрать другую стратегию — например, расстаться с тросом в нижней точке траектории, достигнув максимальной горизонтальной скорости $$ v_m=l\varphi_m'=\sqrt{2}l\omega_0=\sqrt{2gl}. $$ Под действием силы тяготения он достигнет воды в момент времени $$ t_2=\dfrac T4+\sqrt{\dfrac{2(h-l)}g} $$ после старта, переместившись при этом по горизонтали в точку $$ x_2=l+2\sqrt{l(h-l)}. $$

Из этих рассуждений видно, например, что обе стратегии приведут нашего героя в одну и ту же точку $x_1=x_2$‍,‍ если отношение высоты обрыва и длины троса будет равно $$ \dfrac hl=\dfrac54. $$

Разумеется, важнейшей характеристикой рассматриваемого процесса является период колебаний. В пределе бесконечно малой амплитуды математического маятника относительно вертикальной оси он равен $$ T_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0} $$ Но для стратегической задачи тарзанки — забросить тело подальше — этот предел нерелевантен и контрпродуктивен. Нужную величину следует получить из уравнения фазовой траектории: $$\begin{gather*} \dfrac T4=\dfrac1{\sqrt{2}\omega_0}\cdot\int\limits_0^{\pi/2} \dfrac{d\varphi}{\sqrt{\sin\varphi}}= \dfrac1{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{T_0}{2\pi}\cdot 2{,}62,\\[0.5cm] T\approx1{,2}T_0. \end{gather*}$$

Теперь мы знаем способ прыгать как можно дальше, даже если геометрические параметры вашей тарзанки будут другими. Оптимизируйте!