«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Последовательность $(a_n)$ определяется по следующим правилам: $$ a_0=9,\ a_{k+1}=3a_k^4+4a_k^3, \quad\text{для любого } k \gt 0. $$ Докажите, что $a_{10}$ содержит более 1000 девяток (в десятичной записи).
Из многоугольника можно получить новый многоугольник с помощью следующей операции: разрезав его по отрезку на 2 части, одну из частей перевернуть и приставить к другой части по линии разреза, если при этом части не будут иметь общих точек, кроме точек разреза. Можно ли с помощью нескольких таких…
Числа $\alpha$ и $\beta$ удовлетворяют равенствам $$\begin{gather*} \alpha^3-3\alpha^2+5\alpha=1,\\ \beta^3-3\beta^2+5\beta=5. \end{gather*}$$ Найдите $\alpha+\beta$.
На доске выписаны $n$ чисел. Разрешается стереть любые два из них, скажем $a$ и $b$, и вместо них записать одно число $\dfrac{a+b}4$. Эта операция повторяется $n-1$ раз, и в результате на доске остаётся одно число. Докажите, что если на…
