[Формулы типа Рамануджана. Обобщение одного тождества][Формулы типа Рамануджана. Обобщение одного тождества] // Квант. — 1990. — № 2. — С. 43.‍‍

В статье «Три формулы Рамануджана»‍ («Квант» № 6 за 1988 год) приведён ряд интересных формул с тригонометрическими функциями. Автор этих формул В. С. Шевелёв прислал нам ещё две формулы такого типа: $$ \begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac{\cos\frac{2\pi}7}{\cos\frac{4\pi}7}}+ \sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac{\cos\frac{4\pi}7}{\cos\frac{2\pi}7}}+ \sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac{\cos\frac{2\pi}7}{\cos\frac{8\pi}7}}+ \sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac{\cos\frac{8\pi}7}{\cos\frac{2\pi}7}}+ \sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac{\cos\frac{4\pi}7}{\cos\frac{8\pi}7}}+ \sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac{\cos\frac{8\pi}7}{\cos\frac{7\pi}7}}=-\sqrt[\scriptstyle3]7,\\ \sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac{\cos\frac{2\pi}9}{\cos\frac{4\pi}9}}+ \sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac{\cos\frac{4\pi}9}{\cos\frac{2\pi}9}}+ \sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac{\cos\frac{2\pi}9}{\cos\frac{8\pi}9}}+ \sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac{\cos\frac{8\pi}9}{\cos\frac{2\pi}9}}+ \sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac{\cos\frac{4\pi}9}{\cos\frac{8\pi}9}}+ \sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac{\cos\frac{8\pi}9}{\cos\frac{9\pi}9}}=-\sqrt[\scriptstyle3]9. \end{gather*} $$ Попытайтесь доказать эти красивые формулы методами статьи «Три формулы Рамануджана».

В «Кванте» № 10 за 1988 год в статье «Избранные школьные задачи»‍ под номером 2 была опубликована задача, в которой утверждается, что при $xyz=1$‍‍ $$ \dfrac1{1+x+xy}+\dfrac1{1+y+yz}+\dfrac1{1+z+zx}=1. $$ А. М. Колесников из Ростовской области обнаружил следующее обобщение. Пусть $x_1$‍,‍ $x_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $x_n$‍‍ — такие числа, что $x_1x_2\ldots x_n=1$‍.‍ Тогда $$ \begin{gather*} \dfrac1{1+x_1+x_1x_2+x_1x_2x_3+\ldots+x_1x_2\ldots x_{n-1}}+ \dfrac1{1+x_2+x_2x_3+x_2x_3x_4+\ldots+x_2x_3\ldots x_n}+\ldots\\\ldots+ \dfrac1{1+x_n+x_nx_1+x_nx_1x_2+\ldots+x_nx_1x_2\ldots x_{n-2}}=1. \end{gather*} $$ Доказательство получается сложением $n$‍‍ очевидных равенств $$ \dfrac{x_1x_2\ldots x_i}{1+x_1+x_1x_2+\ldots+x_1x_2\ldots x_{n-1}}= \dfrac1{1+x_{i+1}+x_{i+1}x_{i+2}+\ldots+x_{i+1}x_{i+2}\ldots x_{i+n-1}}, $$ где $i=1$‍,‍ 2, $\ldots$‍,‍ $n$‍‍ и по определению $x_{n+j}=x_j$‍.‍