Задачник «Кванта» / Квант. — 1989. — № 6 / 1989 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1989. — № 6. — С. 30—37.

Задачи М1166‍—‍М1170 предлагались осенью прошлого года на математической олимпиаде «Турнир городов».

Открыть в номере

Задачи М1166‍—‍М1170; Ф1173‍—‍Ф1177 Задачи М1166—М1170; Ф1173—Ф1177 // Квант. — 1989. — № 6. — С. 30—31.

Задача М1166
Докажите неравенство $a^{2}pq+b^{2}qr+c^{2}rp \le 0$‍,‍ где $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ — длины сторон треугольника, $p+q+r=0$‍.‍
Задача М1167
Сколько существует перестановок чисел 1, 2, $\ldots$‍,‍ $n$‍,‍ в которых для любого числа $i$‍,‍ стоящего не на первом месте, хотя бы одно из чисел $i-1$‍‍ и $i+1$‍‍ находится левее $i$‍?‍
Задача М1168
В стране 1989 городов и 4000 дорог (каждая дорога соединяет два города). Докажите, что можно выбрать кольцевой маршрут, проходящий не более чем через 20 городов.
Задача М1169
Пусть $M$‍‍ — точка, лежащая внутри прямоугольника $ABCD$‍,‍ $S$‍‍ — его площадь. Докажите неравенство $$ S\le AM\cdot CM+BM\cdot DM. $$
Задача М1170
Рассмотрим разбиения данного выпуклого $n$‍‍-угольника на треугольники непересекающимися диагоналями. Назовём перестройкой следующее преобразование: вместо некоторой диагонали $BC$‍,‍ служащей общей стороной двух треугольников $ABC$‍‍ и $BCD$‍‍…
Задача Ф1173
Текст задачи готовится
Задача Ф1174
Текст задачи готовится
Задача Ф1175
Текст задачи готовится
Задача Ф1176
Текст задачи готовится
Задача Ф1177
Текст задачи готовится

Решения задач М1141‍—‍М1145; Ф1153‍—‍Ф1157 Решения задач М1141—М1145; Ф1153—Ф1157 // Квант. — 1989. — № 6. — С. 31—37.

Задача М1141
Трапеция описана около окружности. Докажите, что хотя бы одна из её диагоналей образует с основанием угол не более $45^\circ$‍.‍
Задача М1142
Таблица $m\times n$‍‍ заполнена $mn$‍‍ числами так, что в каждой строке и в каждом столбце эти числа составляют арифметическую прогрессию. Сумма четырёх чисел, стоящих в углах таблицы, равна $s$‍.‍ Чему равна сумма всех чисел в таблице?
Задача М1143
Масса каждой из 101 гирек, расположенных по окружности, — натуральное число, а их общая масса равна 300 г. Докажите, что из этого набора можно выбрать одну или несколько гирек, расположенных подряд, с общей массой 200 г.
Задача М1144
Пусть $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍$\ldots$‍,‍ $a_n$‍‍ — неотрицательные числа. Какое число больше: $$ \sqrt[\scriptstyle1988]{a_1^{1988}+a_2^{1988}+\ldots+a_n^{1988}}\quad\text{или}\quad \sqrt[\scriptstyle1989]{a_1^{1989}+a_2^{1989}+\ldots+a_n^{1989}}~? $$
Задача М1145
Из точки $P$‍‍ проведены две касательные $PB$‍‍ и $PC$‍‍ к окружности, причём $\angle BPC \gt 90^{\circ}$‍.‍ На меньшей дуге $BC$‍‍ взята точка $A$‍.‍ Докажите, что площадь треугольника, отсекаемого от угла $BPC$‍‍ касательной к…
Задача Ф1153
Текст задачи готовится
Задача Ф1154
Текст задачи готовится
Задача Ф1155
Текст задачи готовится
Задача Ф1156
Текст задачи готовится
Задача Ф1157
Текст задачи готовится

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1989. — № 6. — С. 30—37.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1989
Номер: 6
Страницы: 30—37
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1989. — № 6. — С. 30‍—‍37.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1989/6/zadachnik_kvanta-5c4c27d4/
Полный текст: опубликован 06.02.2026

Задачник «Кванта» (1989, № 6)Задачник «Кванта» // Квант. — 1989. — № 6. — С. 30‍—‍37.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1989. — № 6. — С. 30—37.

Задачи М1166‍—‍М1170; Ф1173‍—‍Ф1177 Задачи М1166—М1170; Ф1173—Ф1177 // Квант. — 1989. — № 6. — С. 30—31.

Решения задач М1141‍—‍М1145; Ф1153‍—‍Ф1157 Решения задач М1141—М1145; Ф1153—Ф1157 // Квант. — 1989. — № 6. — С. 31—37.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1989. — № 6. — С. 30—37.