Шевелёв В. С.

Три формулы РамануджанаШевелёв В. С. Три формулы Рамануджана // Квант. — 1988. — № 6. — С. 52‍—‍55.‍‍

В формулах Рамануджана всегда содержится гораздо больше, чем это кажется на первый взгляд...

Харди

В этой статье речь пойдёт о трёх замечательных формулах Рамануджана‍, каждая из которых содержит в левой части три кубических корня: $$ \begin{gather*} \sqrt[\scriptstyle3]{\frac19}-\sqrt[\scriptstyle3]{\frac29}+\sqrt[\scriptstyle3]{\frac49}=\sqrt[\scriptstyle3]{\sqrt[\scriptstyle3]2-1}, \tag1\\ \sqrt[\scriptstyle3]{\cos\dfrac{2\pi}7}+\sqrt[\scriptstyle3]{\cos\dfrac{4\pi}7}+ \sqrt[\scriptstyle3]{\cos\dfrac{8\pi}7}=\sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac{5-3\sqrt[\scriptstyle3]7}2},\tag2\\ \sqrt[\scriptstyle3]{\cos\dfrac{2\pi}9}+\sqrt[\scriptstyle3]{\cos\dfrac{4\pi}9}+ \sqrt[\scriptstyle3]{\cos\dfrac{8\pi}9}=\sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac{3\sqrt[\scriptstyle3]9-6}2}.\tag3 \end{gather*} $$

Эти формулы трудно спутать с формулами какого-либо другого математика: они напоминают загадочное жонглирование с числами.

Первая формула более проста и доказывается последовательным возведением в куб. Для нас, кроме эстетического восприятия, она интересна тем, что в структурном отношении очень похожа на две следующие. Что же касается формул (2) и (3), то здесь далеко не всё так просто. Приведём интересные цитаты об этих формулах из брошюры В. И. Левина‍: «Эти формулы совсем элементарны, но очень глубоки. Они обладают неповторимой внутренней симметрией, и догадаться об их существовании мог только математик самого высокого ранга». И ещё: «Эти точные равенства являются, конечно, частными случаями значительно более общих соотношений, которыми располагал Рамануджан, но о которых он никому ничего не сообщил...».

Мы приглашаем читателя проследить за доказательством формул (2) и (3). В некоторых местах ему понадобятся карандаш и бумага. В награду он поймёт внутренний механизм, управляющий этими красивыми формулами и, по-видимому, сможет, уже самостоятельно, доказать несколько формул типа формул Рамануджана (найденных автором, — см. упражнение 5), а возможно, и придумать свои.

Связь с формулами Виета

Связь между тригонометрией и алгеброй легко угадывается в формулах Рамануджана. Вглядимся пристальнее в числа $$ \begin{aligned} &\left\{\cos\dfrac{2\pi}7,\cos\dfrac{4\pi}7,\cos\dfrac{8\pi}7\right\},\\ &\left\{\cos\dfrac{2\pi}9,\cos\dfrac{4\pi}9,\cos\dfrac{8\pi}9\right\}. \end{aligned} $$ Прежде всего бросается в глаза, что аргументы косинусов составляют в обеих тройках геометрические прогрессии со знаменателей 2.

Воспользовавшись преобразованием $$ \cos\alpha\cos2\alpha\cos4\alpha=\dfrac{\sin2\alpha\cos2\alpha\cos4\alpha} {2\sin\alpha}=\dfrac{\sin4\alpha\cos4\alpha}{4\sin\alpha}=\dfrac{\sin8\alpha} {8\sin\alpha} $$ можно установить такие равенства: $$ \begin{aligned} \cos\dfrac{2\pi}7\cos\dfrac{4\pi}7\cos\dfrac{8\pi}7&=\dfrac18,\\ \cos\dfrac{2\pi}9\cos\dfrac{4\pi}9\cos\dfrac{8\pi}9&=-\dfrac18. \end{aligned} $$

Это — наш первый успех, показывающий, что аргументы косинусов в формулах Рамануджана выбраны отнюдь не случайно.

Попробуем найти теперь суммы трёх косинусов. Имеем: $$ \begin{gather*} \cos\dfrac{2\pi}7+\cos\dfrac{4\pi}7+\cos\dfrac{8\pi}7= \dfrac{2\sin\dfrac\pi7}{2\sin\dfrac\pi7}\left(\cos\dfrac{2\pi}7+ \cos\dfrac{4\pi}7+\cos\dfrac{8\pi}7\right)=\\ =\dfrac1{2\sin\dfrac\pi7}\left(\sin\dfrac{3\pi}7-\sin\dfrac\pi7+\sin \dfrac{5\pi}7-\sin\dfrac{3\pi}7+\sin\pi-\sin\dfrac{5\pi}7\right)=-\dfrac12;\\ \\[-6pt] \cos\dfrac{2\pi}9+\cos\dfrac{4\pi}9+\cos\dfrac{8\pi}9= \cos\dfrac{2\pi}9+\cos\dfrac{4\pi}9-\cos\dfrac\pi9=\\ =2\cos\dfrac{3\pi}9\cos\dfrac\pi9-\cos\dfrac\pi9=0. \end{gather*} $$

Наконец, поищем такие суммы: $$ \begin{align*} S_1&=\cos\dfrac{2\pi}7\cos\dfrac{4\pi}7+\cos\dfrac{2\pi}7\cos\dfrac{8\pi}7+ \cos\dfrac{4\pi}7\cos\dfrac{8\pi}7,\\ S_2&=\cos\dfrac{2\pi}9\cos\dfrac{4\pi}9+\cos\dfrac{2\pi}9\cos\dfrac{8\pi}9+ \cos\dfrac{4\pi}9\cos\dfrac{8\pi}9,\\ \end{align*} $$

Упражнение 1. Докажите, что $S_1=-\dfrac12$‍,‍ $S_2=-\dfrac34$‍.‍

Напишем теперь формулы Виета для кубического уравнения. Если $x$‍,‍ $y$‍,‍ $z$‍‍ — корни уравнения $$ t^3+pt^2+qt+r=0, $$ то, как известно, $$ \left\{\begin{array}{l} x+y+z=-p,\\ xy+xz+yz=q,\\ xyz=-r. \end{array}\right.\tag4 $$

Сравнивая (4) с равенствами, которые мы получили выше для рамануджановских троек косинусов, заключаем, что первая тройка состоит из корней уравнения $$ t^3+\dfrac12t^2-\dfrac12t-\dfrac18=0,\tag5 $$ а вторая — из корней уравнения $$ t^3-\dfrac34t+\dfrac18=0.\tag6 $$

Этот этап — самый важный в нашем доказательстве. Он показывает, какова природа связи между тригонометрическими и алгебраическими выражениями в формулах (2) и (3).

Рассмотрим сумму трёх корней...

Поставим теперь задачу так. Дано уравнение $$ t^3+pt^2+qt+r=0, $$ корнями которого являются числа $x$‍,‍ $y$‍,‍ $z$‍.‍ Требуется найти сумму их кубических корней (куб этой суммы обозначим через $A$‍):‍ $$ \def\|{\vphantom{Ay}} \sqrt[\scriptstyle3]{x\|}+\sqrt[\scriptstyle3]{y\|}+\sqrt[\scriptstyle3]{z\|}=\sqrt[\scriptstyle3]{A\|}.\tag7 $$

Оказывается, сумму (7) легче искать вместе с другой суммой: $$ \def\|{\vphantom{Ay}} \sqrt[\scriptstyle3]{xy\|}+\sqrt[\scriptstyle3]{xz\|}+\sqrt[\scriptstyle3]{yz\|}=\sqrt[\scriptstyle3]{B\|}.\tag8 $$

Возводя в куб обе части (7), а затем (8) и учитывая формулы Виета (4), получаем (проверьте это самостоятельно): $$ \def\|{\vphantom{A^2}} \begin{align*} A&=-p+3\,\sqrt[\scriptstyle3]{AB\|}+3\,\sqrt[\scriptstyle3]{r\|},\tag9\\ B&=q-3\,\sqrt[\scriptstyle3]{AB\|}\,r-3\,\sqrt[\scriptstyle3]{r^2}.\tag{10} \end{align*} $$

Умножая (9) на $\sqrt[\scriptstyle3]r$‍‍ и складывая с (10), выражаем $B$‍‍ через $A$‍:‍ $$ B=q-(A+p)\sqrt[\scriptstyle3]r. $$

Подставляя это в (9), получаем уравнение только относительно $A$‍:‍ $$ A+p-3\sqrt[\scriptstyle3]r=3\sqrt[\scriptstyle3]{A(q-(A+p)\sqrt[\scriptstyle3]r)}. $$

Наконец, возводя обе части уравнения в куб, получаем следующее кубическое уравнение относительно $A$‍:‍ $$ \def\|{\vphantom{r^2}} A^3+3(p+6\sqrt[\scriptstyle3]{r\|})A^2+3(p^2+3p\sqrt[\scriptstyle3]{r^2}-9q)A+(p-3\sqrt[\scriptstyle3]{r\|})^3=0. \tag{11} $$

Упрощение кубического уравнения

Пусть дано кубическое уравнение $$ x^3+3bx^2+3cx+d=0.\tag{12} $$

Покажем, как — в некоторых случаях особенно успешно — оно может быть упрощено.

Подставляя в (12) $x=z-b$‍,‍ получим кубическое уравнение относительно $z$‍,‍ не содержащее $z^2$‍‍ (проверьте!). Более того, если $b$‍‍ и $c$‍‍ в уравнении (12) связаны соотношением $$ b^2=c, $$ то в уравнении относительно $z$‍‍ исчезнет и член с $z^1$‍.‍ В результате уравнение (12) примет вид $$ z^3=b^3-d. $$

Возвращаясь к $x$‍,‍ получим $$ x=\sqrt[\scriptstyle3]{b^3-d}-b.\tag{13} $$

Проверим, в каком случае выполняется условие $b^2=c$‍‍ для уравнения (11). Сравнивая его с (12), имеем: $$ \def\|{\vphantom{r^2}} \begin{aligned} b&=p+6\sqrt[\scriptstyle3]{r\|},\\ c&=p^2+3p\sqrt[\scriptstyle3]{r\|}+9\sqrt[\scriptstyle3]{r^2}-9q, \end{aligned} $$ и условие $b^2=c$‍‍ принимает вид: $$ 3\sqrt[\scriptstyle3]{r^2}+p\sqrt[\scriptstyle3]{r\vphantom{r^2}}+q=0.\tag{14} $$

Теперь наступает волнующий момент: ведь числа $p$‍,‍ $q$‍‍ и $r$‍‍ известны для уравнений, корнями которых являются рамануджановские тройки косинусов (см. формулы (5) и (6))!

Для первой тройки: $p=\dfrac12$‍,‍ $q=-\dfrac12$‍,‍ $r=-\dfrac18$‍;‍ для второй тройки: $p=0$‍,‍ $q=-\dfrac34$‍,‍ $r=\dfrac18$‍.‍ Подставляя эти значения в (14), получаем числовые равенства! Но в этом случае, согласно (13) (при $x=A$‍,‍ $b=p+6\sqrt[\scriptstyle3]r$‍,‍ $d=(p-3\sqrt[\scriptstyle3]r)^3$‍),‍ $$ A=\sqrt[\scriptstyle3]{b^3-d}-b. $$

В случае первой тройки $b=\dfrac12-3=-\dfrac52$‍,‍ $d=\left(\dfrac12+\dfrac32\right)^3=8$‍,‍ так что $$ A=\dfrac{-\sqrt[\scriptstyle3]{189}+5}2=\dfrac{5-3\sqrt[\scriptstyle3]7}2. $$

В случае второй тройки $b=3$‍,‍ $d=\left(-\dfrac32\right)^3=-\dfrac{27}8$‍‍ и $$ A=\sqrt[\scriptstyle3]{27+\dfrac{27}8}-3=\dfrac{3\sqrt[\scriptstyle3]9-6}2. $$

Но это как раз подкоренные выражения правых частей формул Рамануджана (2) и (3). Следовательно, доказательство завершено.

Упражнение 2. Положив $\sqrt[\scriptstyle3]{x\vphantom y}=u$‍,‍ $\sqrt[\scriptstyle3]y=v$‍,‍ $\sqrt[\scriptstyle3]{z\vphantom y}=w$‍,‍ докажите, что условие (14) при $u$‍,‍ $v$‍,‍ $w$‍,‍ не равных 0, эквивалентно условию $$ u^3+v^3+w^3+\dfrac{(uv)^2}w+\dfrac{(uw)^2}v+\dfrac{(vw)^2}u+3uvw=0.\tag{15} $$

Из нашего доказательства следует, что условию (15) удовлетворяют кубические корни рамануджановских косинусов (первой и второй тройки). Непосредственно легко проверить, что ему удовлетворяет также тройка чисел $$ u=\sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac19},\quad v=-\sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac29},\quad w=\sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac49}. $$

Таким образом, в основе равенств (1), (2), (3) лежит общее условие (15).

Возможно, Рамануджан знал и другие тройки чисел $(u,v,w)$‍,‍ удовлетворяющие условию (15).

Упражнение 3. Покажите, что вместе с числами $u$‍,‍ $v$‍,‍ $w$‍‍ условию (15) удовлетворяют:

1. числа $\dfrac1u$‍,‍ $\dfrac1v$‍,‍ $\dfrac1w$‍;‍
2. числа $\sqrt[\scriptstyle3]{u^3+uvw}$‍,‍ $\sqrt[\scriptstyle3]{v^3+uvw}$‍,‍ $\sqrt[\scriptstyle3]{w^3+uvw}$‍.‍

Упражнение 4. Докажите, что если выполнено условие (15), то справедливо равенство $$ \begin{gather*} \left(\dfrac uv+\dfrac vu+\dfrac uw+\dfrac wu+\dfrac vw+ \dfrac wv\right)^3+6=\\ =\left(\dfrac uv\right)^3+\left(\dfrac vu\right)^3+ \left(\dfrac uw\right)^3+\left(\dfrac wu\right)^3+ \left(\dfrac vw\right)^3+\left(\dfrac wv\right)^3.\tag{16} \end{gather*} $$ Проверьте (16), например, для тройки чисел $u=\sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac19}$‍,‍ $v=-\sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac29}$‍,‍ $w=\sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac49}$‍.‍ Можно ли, наоборот, вывести (15) из (16)?

Упражнение 5. Докажите равенства:

1. $\sqrt[\scriptstyle3]{\sec\dfrac{2\pi}7}+\sqrt[\scriptstyle3]{\sec\dfrac{4\pi}7}+ \sqrt[\scriptstyle3]{\sec\dfrac{8\pi}7}=\sqrt[\scriptstyle3]{8-6\sqrt[\scriptstyle3]7}$‍;‍
2. $\sqrt[\scriptstyle3]{\sec\dfrac{2\pi}9}+\sqrt[\scriptstyle3]{\sec\dfrac{4\pi}9}+ \sqrt[\scriptstyle3]{\sec\dfrac{8\pi}9}=\sqrt[\scriptstyle3]{6(\sqrt[\scriptstyle3]9-1)}$‍;‍
3. $\sqrt[\scriptstyle3]{2+\sec\dfrac{2\pi}7}+\sqrt[\scriptstyle3]{2+\sec\dfrac{4\pi}7}+ \sqrt[\scriptstyle3]{2+\sec\dfrac{8\pi}7}=\sqrt[\scriptstyle3]{6\sqrt[\scriptstyle3]7-10}$‍;‍
4. $\sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac12+\cos\dfrac{2\pi}7}+\sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac12+\cos\dfrac{4\pi}7} +\sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac12+\cos\dfrac{8\pi}7}=\sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac32\sqrt[\scriptstyle3]7-2}$‍;‍
5. $\sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac{\cos\dfrac{2\pi}7}{2\cos\dfrac{2\pi}7+1}}+ \sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac{\cos\dfrac{4\pi}7}{2\cos\dfrac{4\pi}7+1}}+ \sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac{\cos\dfrac{8\pi}7}{2\cos\dfrac{8\pi}7+1}}= \sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac32\sqrt[\scriptstyle3]7-2}$‍;‍
6. $\sqrt[\scriptstyle3]{2-\sec\dfrac{2\pi}9}+\sqrt[\scriptstyle3]{2-\sec\dfrac{4\pi}9}+ \sqrt[\scriptstyle3]{2-\sec\dfrac{8\pi}9}=\sqrt[\scriptstyle3]{6(\sqrt[\scriptstyle3]9-2)}$‍;‍
7. $\sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac12-\cos\dfrac{2\pi}9}+\sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac12-\cos\dfrac{4\pi}9} +\sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac12-\cos\dfrac{8\pi}9}=\sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac32(\sqrt[\scriptstyle3]9-1)}$‍;‍
8. $\sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac{\cos\dfrac{2\pi}9}{2\cos\dfrac{2\pi}9-1}}+ \sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac{\cos\dfrac{4\pi}9}{2\cos\dfrac{4\pi}9-1}}+ \sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac{\cos\dfrac{8\pi}9}{2\cos\dfrac{8\pi}9-1}}= \sqrt[\scriptstyle3]{\dfrac32(\sqrt[\scriptstyle3]9-1)}$‍.‍