Задачник «Кванта» / Квант. — 1988. — № 11/12 / 1988 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1988. — № 11/12. — С. 33—45.

Задачи М1131‍—‍М1135 предлагались на ХХIХ Международной математической олимпиаде.

Открыть в номере

Задачи М1131‍—‍М1140; Ф1143‍—‍Ф1147 Задачи М1131—М1140; Ф1143—Ф1147 // Квант. — 1988. — № 11/12. — С. 33—37.

Задача М1131
Пусть $n$‍‍ — натуральное число и $A_1$‍,‍ $A_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $A_{2n+1}$‍‍ подмножества некоторого множества $B$‍.‍ Предположим, что
1. каждое множество $A_i$‍‍ ($i=1$‍,‍ 2,…
Задача М1132
Функция $f$‍‍ определена на множестве целых положительных чисел и удовлетворяет следующим условиям: $$\begin{gathered} f(1)=1,\quad f(3)=3,\quad f(2n)=f(n),\\ f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n),\quad f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n) \end{gathered}$$ Найдите число всех таких значений $n$‍,‍ для которых $f(n)=n$‍‍ и $1\le n\le 1988$‍.‍
Задача М1133
Докажите, что множество решений неравенства $$ \textstyle\sum\limits_{k=1}^{70}\dfrac{k}{x-k}\ge \dfrac54 $$ является объединением непересекающхся промежутков, сумма длин которых равна 1988.
Задача М1134
Пусть $AD$‍‍ — высота в прямоугольном треугольнике $ABC$‍,‍ $\angle A=90^\circ$‍.‍ Прямая, проходящая через центры окружностей, вписанных в треугольники $ABD$‍‍ и $ACD$‍,‍ пересекает стороны $AB$‍‍ и $AC$‍‍ соответственно в точках…
Задача М1135
Пусть $a$‍‍ и $b$‍‍ — целые положительные числа такие, что $a^2+b^2$‍‍ делится на $ab+1$‍‍ без остатка. Докажите, что $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}$‍‍ — квадрат целого числа.
Задача М1136
Докажите для неотрицательных чисел $A$‍,‍ $M$‍,‍ $S$‍‍ неравенство $$ 3+(A+M+S)+\left(\dfrac1A+\dfrac1M+\dfrac1S\right)+ \left(\dfrac AM+\dfrac MS+\dfrac SA\right)\ge \dfrac{3(A+1)(M+1)(S+1)}{AMS+1}. $$

Эту задачу автор посвятил 100-летию Американского математического общества (American Mathematical Society — AMS), которое отмечается в этом году.
Задача М1137
В выпуклом $n$‍‍-угольнике все углы равны и из некоторой точки, расположенной внутри $n$‍‍-угольника, все его стороны видны под равными углами. Докажите, что этот $n$‍‍-угольник правильный.
Задача М1138
Докажите, что для любого натурального $n$‍‍ между числами $n^2$‍‍ и $n^2+n+3\sqrt{n}$‍‍ найдутся три натуральных числа, произведение двух из которых делится на третье.
Задача М1139
1. Поверхность выпуклого многогранника можно разрезать на несколько квадратов. Докажите, что у этого многогранника не больше 8 вершин.
2. Какое наибольшее число вершин может иметь выпуклый многогранник, поверхность которого можно разрезать на правильные…
Задача М1140
Нарисуем на плоскости одну или несколько пересекающихся кривых (кривые могут иметь точки самопересечения, рис. 1). В каждой точке пересечения можно двумя способами выполнить «перестройку» (рис. 2). Если проделать перестройку во всех точках пересечения, то получится несколько непересекающихся…
Задача Ф1143
Текст задачи готовится
Задача Ф1144
Текст задачи готовится
Задача Ф1145
Текст задачи готовится
Задача Ф1146
Текст задачи готовится
Задача Ф1147
Текст задачи готовится

Решения задач М1110‍—‍М1115; Ф1123‍—‍Ф1127 Решения задач М1110—М1115; Ф1123—Ф1127 // Квант. — 1988. — № 11/12. — С. 37—45.

Задача М1110
Для данного натурального $n\gt1$‍‍ выпишем наибольшие общие делители всевозможных пар различных чисел от 1 до $n$‍.‍ Докажите, что
1. среднее арифметическое всех $\dfrac{n(n-1)}2$‍‍ выписанных чисел неограниченно растёт с ростом…
Задача М1111
Около остроугольного треугольника $ABC$‍‍ описана окружность. Касательные к окружности, проведённые в точках $A$‍‍ и $C$‍,‍ пересекают касательную, проведённую в точке $B$‍,‍ соответственно в точках $M$‍‍ и $N$‍.‍ В…
Задача М1112
На доске написаны два числа: 1 и 2. Разрешается дописывать новые числа следующим образом: если на доске имеются числа $a$‍‍ и $b$‍,‍ то можно написать число $ab+a+b$‍.‍ Можно ли этим способом получить
1. число 13121;…
Задача М1113
В стране 21 город. Авиационное сообщение между ними осуществляют несколько авиакомпаний, каждая из которых обслуживает 10 беспосадочных авиалиний, связывающих попарно некоторые пять городов (при этом между двумя городами могут летать самолёты нескольких компаний). Каждые два города связаны по…
Задача М1114
Докажите, что для любого тетраэдра имеет место неравенство $$ r\lt\dfrac{ab}{2(a+b)}, $$ где $a$‍,‍ $b$‍‍ — длины двух скрещивающихся рёбер, а $r$‍‍ — радиус вписанного шара.
Задача М1115
1. В первой строке написаны 19 натуральных чисел, не превосходящих 88, а во второй строке — 88 натуральных чисел, не превосходящих 19. Назовём отрезком одно или несколько подряд написанных чисел одной строки. Докажите, что из данных строк можно выбрать по отрезку…
Задача Ф1123
Текст задачи готовится
Задача Ф1124
Текст задачи готовится
Задача Ф1125
Текст задачи готовится
Задача Ф1126
Текст задачи готовится
Задача Ф1127
Текст задачи готовится

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1988. — № 11/12. — С. 33—45.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1988
Номер: 11/12
Страницы: 33—45
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1988. — № 11/12. — С. 33‍—‍45.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1988/11-12/zadachnik_kvanta-2b47eed8/
Полный текст: опубликован 06.02.2026

Задачник «Кванта» (1988, № 11-12)Задачник «Кванта» // Квант. — 1988. — № 11/12. — С. 33‍—‍45.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1988. — № 11/12. — С. 33—45.

Задачи М1131‍—‍М1140; Ф1143‍—‍Ф1147 Задачи М1131—М1140; Ф1143—Ф1147 // Квант. — 1988. — № 11/12. — С. 33—37.

Решения задач М1110‍—‍М1115; Ф1123‍—‍Ф1127 Решения задач М1110—М1115; Ф1123—Ф1127 // Квант. — 1988. — № 11/12. — С. 37—45.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1988. — № 11/12. — С. 33—45.