«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $60^\circ$. Докажите, что одна из биссектрис угла, образованного высотами, проведёнными из вершин $B$ и $C$, проходит через центр описанной окружности этого треугольника.
В шахматном турнире, проводимом в один круг, не менее $\dfrac34$ всех сыгранных к некоторому моменту партий закончились вничью. Докажите, что в этот момент некоторые два участника набрали одинаковое число очков.
Один из двух играющих («начинающий») ставит на некоторую клетку шахматной доски коня. Затем игроки по очереди передвигают коня по обычным правилам (буквой «Г»), при этом нельзя ставить коня на поле, где он уже побывал. Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто может добиться победы (независимо от…
Будем говорить, что в цилиндр $\text{Ц}_1$ вписан боком другой цилиндр $\text{Ц}_2$, если две образующие второго цилиндра лежат на основаниях первого, а четыре точки окружностей основания второго — на боковой поверхности первого (рис. 1). Взяв цилиндр…
На отрезке $[-1, 1]$ выбрано $k$ различных точек, для каждой посчитано произведение расстояний до остальных $k-1$ точек и через $S$ обозначена сумма обратных величин этих $k$ произведений. Докажите, что
Текст задачи готовится
Докажите, что число $1985!!+1986!!$ делится на $1987$. (Через $n!!$ обозначается произведение всех натуральных чисел, не превосходящих $n$ и имеющих ту же чётность, т. е. $n!!=n\cdot(n-2)\cdot(n-4)\cdot\ldots$)
Среди $n$ членов арифметической прогрессии удалось выбрать $k$ членов, образующих возрастающую геометрическую прогрессию. Докажите, что $n\ge2^{k-1}$.
Для выпуклого многогранника $M$ обозначим через $S(M)$ сумму площадей его граней, через $P(M)$ — сумму произведений длин всех его рёбер на соответствующие им внешние углы многогранника (внешний угол при данном ребре — это угол между перпендикулярами к…
