Задачник «Кванта» / Квант. — 1987. — № 5 / 1987 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1987. — № 5. — С. 22—30.

Задачи М1041⁠—⁠М1045 предлагались на 50-й Московской городской математической олимпиаде в 1987 году.

Открыть в номере

Задачи М1041⁠—⁠М1045; Ф1053⁠—⁠Ф1057 Задачи М1041—М1045; Ф1053—Ф1057 // Квант. — 1987. — № 5. — С. 22—24.

Задача М1041
На плоскости заданы:
1. четыре,
2. три вершины
правильного пятиугольника. С помощью двусторонней линейки восстановите остальные его вершины. (Двусторонней линейкой можно делать то же, что и обычной линейкой без делений, а также…
Задача М1042
В классе организуется турнир по перетягиванию каната. В турнире ровно по одному разу должны участвовать всевозможные команды, которые можно составить из учащихся этого класса (из одного, двух и т. д. человек, кроме команды всего класса). Докажите, что каждая команда будет соревноваться с…
Задача М1043
Можно ли разбить множество всех целых чисел на три подмножества так, чтобы для любого целого $n$‍‍ чи́сла $n$‍,‍ $n-50$‍,‍ $n+1987$‍‍ принадлежали трём разным подмножествам?
Задача М1044
Докажите, что из четырёх чисел всегда можно выбрать два числа $x$‍‍ и $y$‍‍ такие, что $$0 \le \dfrac{x-y}{1+xy} \le 1.$$
Задача М1045
В некотором царстве, некотором государстве, территория которого имеет форму квадрата со стороной 2 км, царь решает созвать всех жителей к 7 часам вечера к себе во дворец на бал. Для этого он в полдень посылает с поручением гонца, который может передать любое указание любому жителю, который в…
Задача Ф1053
Текст задачи готовится
Задача Ф1054
Текст задачи готовится
Задача Ф1055
Текст задачи готовится
Задача Ф1056
Текст задачи готовится
Задача Ф1057
Текст задачи готовится

Решения задач М1021⁠—⁠М1025; Ф1033⁠—⁠Ф1037 Решения задач М1021—М1025; Ф1033—Ф1037 // Квант. — 1987. — № 5. — С. 24—30.

Задача М1021
Альпинист хочет подняться на скалу высотой 1000 м. После ночёвки в лагере у подножья скалы он может подниматься, навешивая верёвку, со скоростью 40 м/ч, а после холодной ночёвки на скале — 30 м/ч. По готовой верёвке он поднимается со скоростью 400 м/ч. За сколько дней он сможет достичь…
Задача М1022
$\def\c#1{\enspace\mathclap{#1}\enspace} \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \c8&\c2&\c3&\c5\\\hline \c1&\c7&\c6&\c4\\\hline \end{array} $‍‍
Первые 8 натуральных чисел можно расставить в две строки так, что сумма чисел в верхней строке равна сумме чисел в нижней, а суммы чисел в столбцах также равны между собой. Можно ли расставить подобным образом первые
1. десять,…
Задача М1023
Всегда ли из 100 треугольников найдётся хотя бы один такой, что его можно целиком покрыть остальными 99?
Задача М1024
Докажите, что для любых двух треугольников с углами $\alpha$‍,‍ $\beta$‍,‍ $\gamma$‍‍ и $\alpha_1$‍,‍ $\beta_1$‍,‍ $\gamma_1$‍‍ выполнено неравенство $$ \dfrac{\cos\alpha_1}{\sin\alpha}+\dfrac{\cos\beta_1}{\sin\beta}+\dfrac{\cos\gamma_1}{\sin\gamma}\le\ctg\alpha+\ctg\beta+\ctg\gamma. $$
Задача М1025
Две прямые, проведённые через одну и другую точку пересечения продолжений противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, разрезают его на четыре меньших четырёхугольника. Докажите, что если в два из них, не имеющие общей стороны, можно вписать окружности, то и в исходный четырёхугольник…
Задача Ф1033
Текст задачи готовится
Задача Ф1034
Текст задачи готовится
Задача Ф1035
Текст задачи готовится
Задача Ф1036
Текст задачи готовится
Задача Ф1037
Текст задачи готовится

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1987. — № 5. — С. 22—30.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1987
Номер: 5
Страницы: 22—30
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1987. — № 5. — С. 22⁠—⁠30.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1987/5/zadachnik_kvanta-c2a76b49/
Полный текст: опубликован 06.02.2026

Задачник «Кванта» (1987, № 5)Задачник «Кванта» // Квант. — 1987. — № 5. — С. 22⁠—⁠30.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1987. — № 5. — С. 22—30.

Задачи М1041⁠—⁠М1045; Ф1053⁠—⁠Ф1057 Задачи М1041—М1045; Ф1053—Ф1057 // Квант. — 1987. — № 5. — С. 22—24.

Решения задач М1021⁠—⁠М1025; Ф1033⁠—⁠Ф1037 Решения задач М1021—М1025; Ф1033—Ф1037 // Квант. — 1987. — № 5. — С. 24—30.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1987. — № 5. — С. 22—30.