«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Существует ли такой (невыпуклый) пятиугольник, который можно разрезать на два равных пятиугольника?
Найдите все решения в натуральных числах $x$, $y$ уравнения $x^y-y^x=x+y$.
При каких…
Точки $A$, $B$, $C$, $D$ — вершины тетраэдра. Докажите, что
Числа 1, 2, $\ldots$, $3n$ произвольным образом разбиты на три группы по $n$ чисел в каждой. Докажите, что можно выбрать по одному числу из каждой группы так, что одно из них равно сумме двух других.
Текст задачи готовится
Можно ли разложить на множители с целыми коэффициентами многочлен $x^4+x^3+x^2+x+12=0$?
Многоугольник описан около окружности с центром $O$. Пусть $P$ — центр масс многоугольника, $K$ — центр масс его контура. Докажите, что точки $P$, $O$ и $K$ лежат на одной прямой, причём $PO=2PK$.…
Каждой вершине правильного пятиугольника приписано некоторое целое число так, что сумма всех пяти чисел положительна. Разрешается проделать следующую операцию: если трём последовательным вершинам приписаны числа $x$, $y$, $z$ и $y\lt0$, то эти…
Пусть $A$ и $B$ — соседние вершины правильного $n$-угольника с центром $O$. Треугольник $XYZ$, равный треугольнику $OAB$, вначале совпадает с ним, а потом движется в плоскости $n$-угольника так, что…
На листе клетчатой бумаги отмечено некоторое конечное множество $M$ узлов (точек пересечения линий сетки). Докажите, что всегда можно окрасить некоторые точки множества $M$ в белый цвет, а остальные — в красный так, чтобы на каждой линии сетки разность между числом…
На сфере радиуса 1 проведена:
Докажите, что найдётся плоскость, проходящая через центр сферы, не пересекающая…
