«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
На плоскости даны прямая $\ell$ и две точки $A$ и $B$ по одну сторону от неё. На прямой $\ell$ выбраны точка $M$, сумма расстояний от которой до точек $A$ и $B$ наименьшая, и точка…
Выписаны $n$ чисел 2, 3, $\ldots$, $n+1$, их всевозможные произведения по два, по три и так далее вплоть до произведения всех $n$ этих чисел. Докажите, что сумма чисел, обратных всем выписанным, равна $\dfrac n2$.…
Окружность отрезает от квадрата четыре криволинейных треугольника (граница каждого состоит из дуги окружности и двух отрезков). Выкрасим два из них, примыкающих к противоположным углам квадрата, в голубой цвет, два другие — в красный. Докажите, что
Прямоугольная шоколадка разбита продольными и поперечными углублениями на 50 квадратных долек. Двое играют в такую игру. Начинающий разламывает шоколадку по некоторому углублению на две прямоугольные части. Затем играющие по очереди ломают одну из получившихся частей по некоторому углублению на…
На отрезке $[0;1]$ по очереди отмечаются точки $x_0$, $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$. Для каждой точки $x_k$ ($k=1$, $\ldots$, $n$) измеряется расстояние $d_k$ от неё…
Текст задачи готовится
Докажите, что для $n$ положительных чисел $a_1\ge a_2\ge a_3\ge\ldots\ge a_n$ выполнены неравенства:
Докажите, что:
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяты две точки $M$ и $N$. Три параллельные прямые, проходящие через точки $M$, $B$ и $N$, пересекают основание $AC$ в точках…
Пусть $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ — различные попарно взаимно простые натуральные числа. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных $b$, что числа $b+a_1$, $b+a_2$, $\ldots$,…
