Задачник «Кванта» / Квант. — 1987. — № 10 / 1987 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1987. — № 10. — С. 24—31, 34—35.

Задача М1069 (так же как опубликованные ранее задачи М1046‍—‍М1048, М1051, М1052 и М1055) предлагалась весной на Восьмом Турнире городов.

Задачи Ф1078‍—‍Ф1082 предлагались на заключительном этапе ХХI Всесоюзной олимпиады по физике.

Открыть в номере

Задачи М1066‍—‍М1070; Ф1078‍—‍Ф1082 Задачи М1066—М1070; Ф1078—Ф1082 // Квант. — 1987. — № 10. — С. 24—26.

Задача М1066
Шесть точек расположены на плоскости так, что все попарные расстояния между ними не больше 1. Докажите, что из них можно выбрать три точки, попарные расстояния между которыми строго меньше 1.
Задача М1067
Докажите, что для неотрицательных чисел $x$‍,‍ $y$‍,‍ $z$‍,‍ удовлетворяющих условию $x^2+y^2+z^2=1$‍,‍ выполнено неравенство $$ \dfrac x{1-x^2}+\dfrac y{1-y^2}+\dfrac z{1-z^2}\ge\dfrac{3\sqrt3}2. $$
Задача М1068
Дан угол $AOB$‍‍ ($A$‍‍ и $B$‍‍ — точки на сторонах угла). Постройте прямую $l$‍,‍ проходящую через вершину $O$‍‍ так, чтобы площади треугольников $AOC$‍‍ и $BOD$‍,‍ где $C$‍‍ и $D$‍‍ —…
Задача М1069
В некотором городе разрешены только парные обмены квартирами (если две семьи обмениваются квартирами, то в тот же день они не участвуют в других обменах). Докажите, что любой сложный обмен квартирами нескольких семей можно осуществить за два дня. (Предполагается, что и до, и после обмена…
Задача М1070
Тетраэдр пересечён тремя плоскостями, каждая из которых параллельна двум его противоположным рёбрам и одинаково удалена от них. Докажите, что сумма квадратов площадей этих трёх сечений в 4 раза меньше суммы квадратов площадей граней тетраэдра.
Задача Ф1078
Текст задачи готовится
Задача Ф1079
Текст задачи готовится
Задача Ф1080
Текст задачи готовится
Задача Ф1081
Текст задачи готовится
Задача Ф1082
Текст задачи готовится

Решения задач М1046‍—‍М1050; Ф1058‍—‍Ф1062 Решения задач М1046—М1050; Ф1058—Ф1062 // Квант. — 1987. — № 10. — С. 26—31, 34—35.

Задача М1046
В остроугольном треугольнике $ABC$‍‍ угол $A$‍‍ равен $60^\circ$‍.‍ Докажите, что одна из биссектрис угла, образованного высотами, проведёнными из вершин $B$‍‍ и $C$‍,‍ проходит через центр описанной окружности этого треугольника.
Задача М1047
В шахматном турнире, проводимом в один круг, не менее $\dfrac34$‍‍ всех сыгранных к некоторому моменту партий закончились вничью. Докажите, что в этот момент некоторые два участника набрали одинаковое число очков.
Задача М1048
Один из двух играющих («начинающий») ставит на некоторую клетку шахматной доски коня. Затем игроки по очереди передвигают коня по обычным правилам (буквой «Г»), при этом нельзя ставить коня на поле, где он уже побывал. Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто может добиться победы (независимо от…
Задача М1049
Будем говорить, что в цилиндр $\text{Ц}_1$‍‍ вписан боком другой цилиндр $\text{Ц}_2$‍,‍ если две образующие второго цилиндра лежат на основаниях первого, а четыре точки окружностей основания второго — на боковой поверхности первого (рис. 1). Взяв цилиндр $\text{Ц}_1$‍,‍ у…
Задача М1050
На отрезке $[-1, 1]$‍‍ выбрано $k$‍‍ различных точек, для каждой посчитано произведение расстояний до остальных $k-1$‍‍ точек и через $S$‍‍ обозначена сумма обратных величин этих $k$‍‍ произведений. Докажите, что
Задача Ф1058
Текст задачи готовится
Задача Ф1059
Текст задачи готовится
Задача Ф1060
Текст задачи готовится
Задача Ф1061
Текст задачи готовится
Задача Ф1062
Текст задачи готовится

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1987. — № 10. — С. 24—31, 34—35.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1987
Номер: 10
Страницы: 24—31, 34—35
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1987. — № 10. — С. 24‍—‍31, 34‍—‍35.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1987/10/zadachnik_kvanta-f7aeed2f/
Полный текст: опубликован 06.02.2026

Задачник «Кванта» (1987, № 10)Задачник «Кванта» // Квант. — 1987. — № 10. — С. 24‍—‍31, 34‍—‍35.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1987. — № 10. — С. 24—31, 34—35.

Задачи М1066‍—‍М1070; Ф1078‍—‍Ф1082 Задачи М1066—М1070; Ф1078—Ф1082 // Квант. — 1987. — № 10. — С. 24—26.

Решения задач М1046‍—‍М1050; Ф1058‍—‍Ф1062 Решения задач М1046—М1050; Ф1058—Ф1062 // Квант. — 1987. — № 10. — С. 26—31, 34—35.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1987. — № 10. — С. 24—31, 34—35.